Chuyển đổi betas chuẩn hóa trở lại các biến ban đầu

Tôi nhận ra đây có lẽ là một câu hỏi rất đơn giản nhưng sau khi tìm kiếm tôi không thể tìm thấy câu trả lời mình đang tìm kiếm.

Tôi có một vấn đề trong đó tôi cần chuẩn hóa các biến chạy (hồi quy sườn) để tính toán các ước tính sườn của betas.

Sau đó tôi cần chuyển đổi chúng trở lại thang đo biến ban đầu.

Nhưng làm thế nào để tôi làm điều này?

Tôi tìm thấy một công thức cho trường hợp bivariate mà

β^{*} = \hat{β} \frac{S_{x}}{S_{y}} .

$\beta^* = \hat\beta \frac{S_x}{S_y} \>.$

Điều này đã được đưa ra trong D. Gujarati, Kinh tế lượng cơ bản , trang 175, công thức (6.3.8).

Trong trường hợp là những ước lượng từ chạy hồi quy trên các biến chuẩn và là ước lượng tương tự chuyển đổi trở lại với quy mô ban đầu, là độ lệch chuẩn mẫu của regressand, và là độ lệch chuẩn mẫu. $\beta^*$ $\hat\beta$ $S_y$ $S_x$

Thật không may, cuốn sách không bao gồm kết quả tương tự cho hồi quy bội.

Ngoài ra tôi không chắc chắn tôi hiểu trường hợp bivariate? Đơn giản thao tác đại số cung cấp cho các công thức cho ở quy mô ban đầu: $\hat\beta$

\hat{β} = β^{*} \frac{S_{y}}{S_{x}}

$\hat\beta=\beta^* \frac{S_y}{S_x}$

Nó có vẻ kỳ lạ với tôi rằng được tính toán trên các biến mà đã được xì hơi bởi , đã được xì hơi bởi lần nữa để được chuyển đổi trở lại? (Cộng với lý do tại sao các giá trị trung bình không được thêm lại?) $\hat\beta$ $S_x$ $S_x$

Vì vậy, ai đó có thể vui lòng giải thích làm thế nào để làm điều này cho một trường hợp đa biến lý tưởng với một dẫn xuất để tôi có thể hiểu kết quả?

— Bô
nguồn

Đối với mô hình hồi quy sử dụng các biến được tiêu chuẩn hóa, chúng tôi giả sử dạng sau cho đường hồi quy

E [Y] = β_{0} + \sum_{j = 1}^{k} β_{j} z_{j},

$\mathbb E[Y] =\beta_{0}+\sum_{j=1}^{k}\beta_{j}z_{j},$

$z_{j}$ $x_j$ $\bar x_j$ $S_j$

z_{j} = \frac{x_{j} - {\bar{x}}_{j}}{S_{j}}

$z_j = \frac{x_j - \bar{x}_j}{S_j}$

Thực hiện hồi quy với các hồi quy chuẩn, chúng ta có được đường hồi quy được trang bị:

\hat{Y} = {\hat{β}}_{0} + \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} z_{j}

$\hat Y = \hat \beta_0 +\sum_{j=1}^{k} \hat \beta_{j}z_{j}$

Bây giờ chúng tôi muốn tìm các hệ số hồi quy cho các yếu tố dự đoán không được chuẩn hóa. Chúng ta có

\hat{Y} = {\hat{β}}_{0} + \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} (\frac{x_{j} - {\bar{x}}_{j}}{S_{j}})

$\hat Y = \hat \beta_0 +\sum_{j=1}^{k} \hat \beta_{j}\left(\frac{x_j - \bar{x}_j}{S_j}\right)$

Sắp xếp lại, biểu thức này có thể được viết là

\hat{Y} = ({\hat{β}}_{0} - \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} \frac{{\bar{x}}_{j}}{S_{j}}) + \sum_{j = 1}^{k} (\frac{{\hat{β}}_{j}}{S_{j}}) x_{j}

$\hat Y = \left( \hat \beta_0 - \sum_{j=1}^k \hat \beta_j \frac{\bar x_j}{S_j} \right) + \sum_{j=1}^k \left(\frac{\hat \beta_j}{S_j}\right) x_j$

$\hat \beta_0 - \sum_{j=1}^k \hat \beta_j \frac{\bar x_j}{S_j}$ $j$ $\frac{\hat \beta_j}{S_j}$

Trong trường hợp được trình bày, tôi đã giả định rằng chỉ có các yếu tố dự đoán đã được chuẩn hóa. Nếu người ta cũng chuẩn hóa biến trả lời, việc chuyển đổi các hệ số đồng biến trở lại thang đo ban đầu được thực hiện bằng cách sử dụng công thức từ tham chiếu bạn đã đưa ra. Chúng ta có:

\frac{E [Y] - \hat{y}}{S_{y}} = β_{0} + \sum_{j = 1}^{k} β_{j} z_{j}

$\frac{\mathbb E[Y] - \hat y}{S_y} =\beta_{0}+\sum_{j=1}^{k}\beta_{j}z_{j}$

Thực hiện hồi quy, chúng ta có phương trình hồi quy phù hợp

{\hat{Y}}_{s c a l e d} = \frac{{\hat{Y}}_{u n s c a l e d} - \bar{y}}{S_{y}} = {\hat{β}}_{0} + \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} (\frac{x_{j} - {\bar{x}}_{j}}{S_{j}}),

$\hat Y_{scaled} = \frac{\hat Y_{unscaled} - \bar y}{S_y} = \hat \beta_0 +\sum_{j=1}^{k} \hat \beta_{j}\left(\frac{x_j - \bar{x}_j}{S_j}\right),$

$S_y$ $y$

{\hat{Y}}_{u n s c a l e d} = {\hat{β}}_{0} S_{y} + \bar{y} + \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} (\frac{S_{y}}{S_{j}}) (x_{j} - {\bar{x}}_{j}) .

$\hat Y_{unscaled} = \hat \beta_0 S_y + \bar y +\sum_{j=1}^{k} \hat \beta_{j}\left(\frac{S_y}{S_j}\right) (x_j - \bar{x}_j).$

$\hat \beta_0 S_y + \bar y - \sum_{j=1}^k \hat \beta_j \frac{S_y}{S_j}\bar x_j$ $S_y / S_j$

— Philipp Burckhard
nguồn