Thuộc tính bất biến của MLE: MLE của

Bất biến tài sản của MLE: nếu θ là MLE của θ , sau đó cho bất kỳ chức năng f ( θ ) , các MLE của f ( θ ) là f ( θ ) . $\hat{\theta}$$\theta$$f(\theta)$$f(\theta)$$f(\hat{\theta})$

Ngoài ra, phải là hàm một đối một.$f$

Cuốn sách nói, "Ví dụ, để ước tính , bình phương của một giá trị trung bình bình thường, ánh xạ không phải là một đối một." Vì vậy, chúng ta không thể sử dụng tài sản bất biến.${\theta}^2$

Nhưng sau đó, nó chứng minh tính chất và nói, "bây giờ chúng ta thấy rằng MLE của , bình phương của một giá trị trung bình bình thường là ˉ x 2 ".$\theta^2$$\bar{x}^2$

Điều này có vẻ tự mâu thuẫn, chúng ta đang bình phương , nhưng bình phương của bất cứ thứ gì không phải là một, tôi đang đọc gì sai ở đây? Cảm ơn!$\bar{x}$

nguồn: Casella & Berger "Suy luận thống kê"

Đó không phải là chính xác những gì Casella và Berger nói. Họ nhận ra (trang 319) rằng khi biến đổi là một đối một, việc chứng minh thuộc tính bất biến là rất đơn giản. Nhưng sau đó, chúng mở rộng thuộc tính bất biến thành các phép biến đổi tùy ý của các tham số giới thiệu hàm khả năng cảm ứng ở trang 320. Định lý 7.2.10 trên cùng một trang đưa ra bằng chứng về thuộc tính mở rộng. Do đó, không có mâu thuẫn ở đây.

Từ trang 350 của "Xác suất và suy luận thống kê" :