Giá trị mong đợi của thống kê đơn hàng tối thiểu từ một mẫu bình thường

CẬP NHẬT ngày 25 tháng 1 năm 2014: lỗi hiện đã được sửa. Vui lòng bỏ qua các giá trị được tính của Giá trị mong đợi trong hình ảnh được tải lên - chúng sai - Tôi không xóa hình ảnh vì nó đã tạo ra câu trả lời cho câu hỏi này.

CẬP NHẬT ngày 10 tháng 1 năm 2014: lỗi đã được tìm thấy - một lỗi đánh máy toán học trong một trong những nguồn được sử dụng. Chuẩn bị chỉnh sửa ...

Mật độ của thống kê đơn hàng tối thiểu từ một tập hợp iid các biến ngẫu nhiên liên tục với cdf và pdf là $n$ $F_X(x)$ $f_X(x)$

f_{X_{(1)}} (x_{(1)}) = n f_{X} (x_{(1)}) {[1 - F_{X} (x_{(1)})]}^{n - 1} [1]

$f_{X_{(1)}}(x_{(1)}) = nf_X(x_{(1)})\left[1-F_X(x_{(1)})\right]^{n-1} \qquad [1]$

Nếu các biến ngẫu nhiên này là tiêu chuẩn bình thường, thì

f_{X_{(1)}} (x_{(1)}) = n ϕ (x_{(1)}) {[1 - Φ (x_{(1)})]}^{n - 1} = n ϕ (x_{(1)}) {[Φ (- x_{(1)})]}^{n - 1} [2]

$f_{X_{(1)}}(x_{(1)}) = n\phi(x_{(1)})\left[1-\Phi(x_{(1)})\right]^{n-1} = n\phi(x_{(1)})\left[\Phi(-x_{(1)})\right]^{n-1}\qquad [2]$ và do đó, giá trị mong đợi của nó là

E (X_{(1)}) = n \int_{- \infty}^{\infty} x_{(1)} ϕ (x_{(1)}) {[Φ (- x_{(1)})]}^{n - 1} d x_{(1)} [3]

$E\left(X_{(1)}\right) = n\int_{-\infty}^{\infty}x_{(1)}\phi(x_{(1)})\left[\Phi(-x_{(1)})\right]^{n-1}dx_{(1)}\qquad [3]$

trong đó chúng ta đã sử dụng các tính chất đối xứng của tiêu chuẩn thông thường. Trong Owen 1980 , p.402, eq. [ N, 011 ] chúng tôi thấy rằng

\int_{- \infty}^{\infty} z ϕ (z) {[Φ (a z)]}^{m} d z = \frac{a m}{(\sqrt{a^{2} + 1}) (\sqrt{2 π})} \int_{- \infty}^{\infty} ϕ (z) {[Φ (\frac{a z}{\sqrt{a^{2} + 1}})]}^{m - 1} d z [4]

$\int_{-\infty}^{\infty}z\phi(z)\left[\Phi(az)\right]^m dz= \frac {am}{(\sqrt {a^2+1})(\sqrt {2\pi})}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(z)\left[\Phi\left(\frac {az}{\sqrt {a^2+1}}\right)\right]^{m-1}dz\qquad [4]$

Các tham số khớp giữa các eqs và ( , ) chúng tôi thu được $[3]$ $[4]$ $a=-1$ $m=n-1$

E (X_{(1)}) = - \frac{n (n - 1)}{2 \sqrt{π}} \int_{- \infty}^{\infty} ϕ (x_{(1)}) {[Φ (\frac{- x_{(1)}}{\sqrt{2}})]}^{n - 2} d x_{(1)} [5]

$E\left(X_{(1)}\right) = -\frac {n(n-1)}{2\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x_{(1)})\left[\Phi\left(\frac {-x_{(1)}}{\sqrt 2}\right)\right]^{n-2}dx_{(1)}\qquad [5]$

Một lần nữa trong Owen 1980, tr. 409, eq [ n0,010.2 ] chúng tôi thấy rằng

\int_{- \infty}^{\infty} [\prod_{i = 1}^{m} Φ (\frac{h_{i} - d_{i} z}{\sqrt{1 - d_{i}^{2}}})] ϕ (z) d z = Z_{m} (h_{1}, . . ., h_{m}; {ρ_{i j}}) [6]

$\int_{-\infty}^{\infty}\left[\prod_{i=1}^{m}\Phi\left(\frac{h_i-d_iz}{\sqrt {1-d_i^2}}\right)\right] \phi(z)dz= \mathcal Z_m(h_1,...,h_m;\{\rho_{ij}\})\qquad [6]$

trong đó là chuẩn đa biến thông thường, là các hệ số tương quan theo cặp và . $\mathcal Z_m()$ $\rho_{ij}=d_id_j,\; i\neq j$ $-1\le d_i\le 1$

Khớp và chúng ta có, , và $[5]$ $[6]$ $m=n-2$ $h_i=0,\;\forall i$

\frac{d_{i}}{\sqrt{1 - d_{i}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow d_{i} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \forall i \Rightarrow ρ_{i j} = ρ = 1 / 3

$\frac{d_i}{\sqrt {1-d_i^2}} = \frac 1{\sqrt 2} \Rightarrow d_i = \pm \frac 1{\sqrt 3} \forall i \Rightarrow \rho_{ij} = \rho = 1/3$

Sử dụng các kết quả này, eq trở thành $[5]$

E (X_{(1)}) = - \frac{n (n - 1)}{2 \sqrt{π}} Z_{n - 2} (0, . . ., 0; ρ = 1 / 3) [7]

$E\left(X_{(1)}\right) = -\frac {n(n-1)}{2\sqrt{\pi}}\mathcal Z_{n-2}(0,...,0;\rho=1/3)\qquad [7]$

Tích phân xác suất chuẩn thông thường đa biến này của các biến tương quan, tất cả được đánh giá bằng 0 , đã thấy đủ điều tra và nhiều cách khác nhau để tính gần đúng và tính toán nó đã được rút ra. Một đánh giá mở rộng (liên quan đến tính toán các tích phân xác suất thông thường đa biến nói chung) là Gupta (1963) . Gupta cung cấp các giá trị rõ ràng cho các hệ số tương quan khác nhau và cho tối đa 12 biến (vì vậy nó bao gồm một bộ sưu tập gồm 14 biến). Kết quả là (CUỐI CÙNG CUỐI CÙNG SAU) :

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Bây giờ nếu chúng ta vẽ biểu đồ giá trị của thay đổi như thế nào với , chúng ta sẽ có được $\mathcal Z_{n-2}(0,...,0;\rho=1/3)$ $n$

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Vì vậy, tôi đi đến ba câu hỏi / yêu cầu của mình:
1) Ai đó có thể kiểm tra phân tích và / hoặc xác minh bằng mô phỏng rằng kết quả cho giá trị mong đợi là chính xác không (tức là kiểm tra tính hợp lệ của eq )? $[7]$

2) Giả sử rằng cách tiếp cận này là chính xác, ai đó có thể đưa ra giải pháp cho các quy tắc với phương sai khác không và không đơn nhất không? Với tất cả các biến đổi tôi cảm thấy thực sự chóng mặt.

3) Giá trị của tích phân xác suất dường như phát triển thuận lợi. Làm thế nào về xấp xỉ nó với một số chức năng của ? $n$

— Alecos Papadopoulos
nguồn

Kết quả của bạn không xuất hiện chính xác. Điều này dễ thấy, không cần tính toán, vì trong bảng của bạn, tăng theo cỡ mẫu ; rõ ràng, giá trị dự kiến của tối thiểu mẫu phải nhỏ hơn (nghĩa là trở nên âm hơn) khi cỡ mẫu lớn hơn. $E[X_{(1)}]$ $n$ $n$

Vấn đề là khái niệm khá dễ dàng.

Tóm lại: nếu ~ với pdf : $X$ $N(0,1)$ $f(x)$

... thì pdf của thống kê bậc 1 (trong một mẫu có kích thước ) là: $n$

... thu được ở đây bằng cách sử dụng OrderStathàm trong mathStatica, với miền hỗ trợ:

Sau đó, , với có thể dễ dàng thu được chính xác như sau: $E[X_{(1)}]$ $n = 1,2,3$

Trường hợp chính xác xấp xỉ , rõ ràng khác với hoạt động của bạn là -1,06 (dòng 1 của Bảng của bạn), vì vậy có vẻ như có gì đó không đúng với hoạt động của bạn (hoặc có thể là sự hiểu biết của tôi về những gì bạn đang tìm kiếm) . $n = 3$ $-0.846284$

Đối với , việc thu được các giải pháp dạng đóng khó khăn hơn, nhưng ngay cả khi tích hợp biểu tượng chứng tỏ khó khăn, chúng ta luôn có thể sử dụng tích hợp số (để chính xác tùy ý nếu muốn). Điều này thực sự rất dễ dàng ... ở đây, ví dụ, là , đối với cỡ mẫu đến 14, sử dụng Mathicala : $n \ge 4$ $E[X_{(1)}]$ $n = 1$

 sol = Table[NIntegrate[x g, {x, -Infinity, Infinity}], {n, 1, 14}]

{0., -0.56419, -0.846284, -1.02938, -1.16296, -1.26721, -1.35218, -1.4236, -1.48501, -1.53875, -1.58644, -1.62923, -1.66799, -1,70338}

Tất cả đã được làm xong. Các giá trị này rõ ràng rất khác với các giá trị trong bảng của bạn (cột bên tay phải).

Để xem xét trường hợp tổng quát hơn của cha mẹ , hãy tiến hành chính xác như trên, bắt đầu với pdf Bình thường chung. $N(\mu, \sigma^2)$

— chó sói
nguồn

n

$n$

4

$4$