Giá trị kỳ vọng của trung bình mẫu cho trung bình mẫu

Đặt biểu thị trung vị và để biểu thị giá trị trung bình của một mẫu ngẫu nhiên có kích thước từ một phân phối là . Làm cách nào tôi có thể tính ?$Y$$\bar{X}$$n=2k+1$$N(\mu,\sigma^2)$$E(Y|\bar{X}=\bar{x})$

Theo trực giác, vì giả định quy tắc, sẽ hợp lý khi cho rằng và thực sự đó là câu trả lời đúng. Điều đó có thể được hiển thị nghiêm ngặt mặc dù?$E(Y|\bar{X}=\bar{x})=\bar{x}$

Suy nghĩ ban đầu của tôi là tiếp cận vấn đề này bằng cách sử dụng phân phối chuẩn có điều kiện thường là kết quả đã biết. Vấn đề ở đây là vì tôi không biết giá trị mong đợi và do đó phương sai của trung vị, tôi sẽ phải tính toán những người sử dụng thống kê thứ tự . Nhưng điều đó rất phức tạp và tôi thà không đến đó trừ khi tôi hoàn toàn phải đến. $k+1$

Hãy X biểu thị mẫu gốc và Z vector ngẫu nhiên với mục Z k = X k - ˉ X . Sau đó, Z là trung tâm bình thường (nhưng các mục nhập của nó không độc lập, như có thể thấy từ thực tế là tổng của chúng bằng 0 với xác suất đầy đủ). Là một tuyến tính chức năng của X , vector ( Z , ˉ X ) là bình thường do đó việc tính toán cũng đủ ma trận hiệp phương sai của nó để chứng minh rằng Z không phụ thuộc vào ˉ X .$X$$Z$$Z_k=X_k-\bar X$$Z$$X$$(Z,\bar X)$$Z$$\bar X$

Quay trở về Y , người ta thấy rằng Y = ˉ X + T mà T là trung bình của Z . Cụ thể, T chỉ phụ thuộc vào Z do đó T độc lập với ˉ X và phân phối Z là đối xứng do đó T là trung tâm.$Y$$Y=\bar X+T$$T$$Z$$T$$Z$$T$$\bar X$$Z$$T$

Cuối cùng,

$$E(Y\mid\bar X)=\bar X+E(T\mid\bar X)=\bar X+E(T)=\bar X.$$

Giá trị trung bình mẫu là một thống kê đơn hàng và có phân phối không bình thường, do đó phân phối mẫu hữu hạn chung của trung bình mẫu và trung bình mẫu (có phân phối chuẩn) sẽ không được chia đôi bình thường. Sử dụng các giá trị gần đúng, không có triệu chứng sau đây (xem câu trả lời của tôi ở đây ):

$$\sqrt n\Big [\left (\begin{matrix} \bar X_n \\ Y_n \end{matrix}\right) - \left (\begin{matrix} \mu \\ \mathbb v \end{matrix}\right)\Big ] \rightarrow_{\mathbf L}\; N\Big [\left (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right) , \Sigma \Big]$$

với

$$\Sigma = \left (\begin{matrix} \sigma^2 & E\left( |X-\mathbb v|\right)\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1} \\ E\left(|X-\mathbb v|\right)\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1} & \left[2f(\mathbb v)\right]^{-2} \end{matrix}\right)$$

nơi ˉ X n là mẫu trung bình và L giá trị trung bình dân số, Y n là trung bình mẫu và v trung bình dân số, f ( ) là mật độ xác suất của các biến ngẫu nhiên liên quan và σ 2 là phương sai. $\bar X_n$$\mu$$Y_n$$\mathbb v$$f()$$\sigma^2$

Vì vậy, xấp xỉ cho các mẫu lớn, phân phối chung của chúng là bivariate bình thường, vì vậy chúng tôi có điều đó

$$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \rho\frac {\sigma_{\mathbb v}}{\sigma_{\bar X}}(\bar x -\mu)$$

Trong đó ρ là hệ số tương quan.$\rho$

Thao tác phân phối tiệm cận để trở thành phân phối khớp mẫu lớn gần đúng của trung bình mẫu và trung bình mẫu (và không phải là số lượng chuẩn), chúng ta có

$$\rho = \frac {\frac 1nE\left(|X-\mathbb v|\right)\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1}}{\frac 1n \sigma \left[2f(\mathbb v)\right]^{-1}} = \frac {E\left(|X-\mathbb v|\right)}{\sigma }$$

Vậy

$$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \frac {E\left(|X-\mathbb v|\right)}{\sigma }\frac {\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1}}{\sigma}(\bar x -\mu)$$

Chúng tôi có mà 2 f ( v ) = 2 / σ √2 π do tính đối xứng của mật độ bình thường nên chúng tôi đến$2f(\mathbb v) = 2/\sigma\sqrt{2\pi}$

$$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \sqrt{\frac {\pi}{2}}E\left(\left|\frac {X-\mu}{\sigma}\right|\right)(\bar x -\mu)$$

where we have used $\mathbb v = \mu$. Now the standardized variable is a standard normal, so its absolute value is a half-normal distribution with expected value equal to $\sqrt{2/\pi}$ (since the underlying variance is unity). So

$$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \sqrt{\frac {\pi}{2}}\sqrt{\frac {2}{\pi}}(\bar x -\mu) = \mathbb v + \bar x -\mu = \bar x$$

The answer is $\bar{x}$.

Let $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ have a multivariate distribution $F$ for which all the marginals are symmetric about a common value $\mu$. (It does not matter whether they are independent or even are identically distributed.) Define $\bar{x}$ to be the arithmetic mean of the $x_i,$ $\bar{x} = (x_1+x_2+\cdots+x_n)/n$ and write $x-\bar{x} = (x_1-\bar{x}, x_2-\bar{x}, \ldots, x_n-\bar{x})$ for the vector of residuals. The symmetry assumption on $F$ implies the distribution of $x - \bar{x}$ is symmetric about $0$; that is, when $E\subset\mathbb{R}^n$ is any event,

$${\Pr}_F(x - \bar{x}\in E) = {\Pr}_F(x - \bar{x}\in -E).$$

Applying the generalized result at /stats//a/83887 shows that the median of $x-\bar{x}$ has a symmetric distribution about $0$. Assuming its expectation exists (which is certainly the case when the marginal distributions of the $x_i$ are Normal), that expectation has to be $0$ (because the symmetry implies it equals its own negative).

Now since subtracting the same value $\bar{x}$ from each of a set of values does not change their order, $Y$ (the median of the $x_i$) equals $\bar{x}$ plus the median of $x-\bar{x}$. Consequently its expectation conditional on $\bar{x}$ equals the expectation of $x-\bar{x}$ conditional on $\bar{x}$, plus $E(\bar{x}\ |\ \bar{x})$. The latter obviously is $\bar{x}$ whereas the former is $0$ because the unconditional expectation is $0$. Their sum is $\bar{x},$ QED.

This is simpler than the above answers make it. The sample mean is a complete and sufficient statistic (when the variance is known, but our results do not depend on the variance, hence will be valid also in the situation when the variance is unknown). Then the Rao-Blackwell together with the Lehmann-Scheffe theorems (see wikipedia ...) will imply that the conditional expectation of the median, given the arithmetic mean, is the unique minimum variance unbiased estimator of the expectation $\mu$. But we know that is the arithmetic mean, hence the result follows.

We did also use that the median is an unbiased estimator, which follows from symmetry.