Tôi có thể xây dựng lại phân phối bình thường từ kích thước mẫu và giá trị tối thiểu và tối đa không? Tôi có thể sử dụng điểm giữa để ủy quyền trung bình

Tôi biết điều này có thể là một chút ropey, theo thống kê, nhưng đây là vấn đề của tôi.

Tôi có rất nhiều dữ liệu phạm vi, nghĩa là kích thước mẫu tối thiểu, tối đa và mẫu của một biến. Đối với một số dữ liệu này tôi cũng có một ý nghĩa, nhưng không nhiều. Tôi muốn so sánh các phạm vi này với nhau để định lượng độ biến thiên của từng phạm vi và cũng để so sánh các phương tiện. Tôi có một lý do chính đáng để giả định rằng phân phối đối xứng quanh giá trị trung bình và dữ liệu sẽ có phân phối Gaussian. Vì lý do này, tôi nghĩ rằng tôi có thể biện minh cho việc sử dụng điểm giữa của phân phối làm proxy cho trung bình, khi nó vắng mặt.

Những gì tôi muốn làm là xây dựng lại một phân phối cho từng phạm vi, và sau đó sử dụng phân phối đó để cung cấp độ lệch chuẩn hoặc lỗi tiêu chuẩn cho phân phối đó. Thông tin duy nhất tôi có là tối đa và tối thiểu được quan sát từ một mẫu và điểm giữa là proxy cho trung bình.

Theo cách này, tôi hy vọng có thể tính toán các phương tiện có trọng số cho từng nhóm và cũng tìm ra hệ số biến đổi cho từng nhóm, dựa trên dữ liệu phạm vi tôi có và các giả định của tôi (về phân phối đối xứng và bình thường).

Tôi dự định sử dụng R để làm điều này, vì vậy bất kỳ trợ giúp mã nào cũng sẽ được đánh giá cao.

Chức năng phân phối tích lũy chung cho tối thiểu & tối đa x ( n ) cho một mẫu n từ một phân phối Gaussian với trung bình μ & độ lệch chuẩn σ là$x_{(1)}$$x_{(n)}$$n$$\mu$$\sigma$

$$F(x_{(1)},x_{(n)};\mu,\sigma) = \Pr(X_{(1)}<x_{(1)}, X_{(n)}<x_{(n)})\\ =\Pr( X_{(n)}<x_{(n)}) - \Pr(X_{(1)}>x_{(1)}, X_{(n)}<x_{(n)}\\ =\Phi\left(\tfrac{x_{(n)}-\mu}{\sigma}\right)^n - \left[\Phi\left(\tfrac{x_{(n)}-\mu}{\sigma}\right) -\Phi\left(\tfrac{x_{(1)}-\mu}{\sigma}\right)\right]^n$$

nơi là tiêu chuẩn Gaussian CDF. Sự khác biệt đối với x ( 1 ) & x ( n ) cho hàm mật độ xác suất chung$\Phi(\cdot)$$x_{(1)}$$x_{(n)}$

$$f(x_{(1)},x_{(n)};\mu,\sigma) =\\ n(n-1)\left[\Phi\left(\tfrac{x_{(n)}-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\tfrac{x_{(1)}-\mu}{\sigma}\right)\right]^{n-2}\cdot\phi\left(\tfrac{x_{(n)}-\mu}{\sigma}\right)\cdot\phi\left(\tfrac{x_{(1)}-\mu}{\sigma}\right)\cdot\tfrac{1}{\sigma^2}$$

trong là Gaussian PDF tiêu chuẩn. Lấy các thuật ngữ nhật ký và thả không chứa tham số sẽ cung cấp hàm khả năng ghi nhật ký$\phi(\cdot)$

$$\ell(\mu,\sigma;x_{(1)},x_{(n)}) =\\ (n-2)\log\left[\Phi\left(\tfrac{x_{(n)}-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\tfrac{x_{(1)}-\mu}{\sigma}\right)\right] + \log\phi\left(\tfrac{x_{(n)}-\mu}{\sigma}\right) + \log\phi\left(\tfrac{x_{(1)}-\mu}{\sigma}\right) - 2\log\sigma$$

This doesn't look very tractable but it's easy to see that it's maximized whatever the value of $\sigma$ by setting $\mu=\hat\mu=\frac{x_{(n)}+x_{(1)}}{2}$, i.e. the midpoint—the first term is maximized when the argument of one CDF is the negative of the argument of the other; the second & third terms represent the joint likelihood of two independent normal variates.

Substituting $\hat\mu$ into the log-likelihood & writing $r=x_{(n)}-x_{(1)}$ gives

$$\ell(\sigma;x_{(1)},x_{(n)},\hat\mu)=(n-2)\log\left[1 - 2\Phi\left(\tfrac{-r}{2\sigma}\right)\right] - \frac{r^2}{4\sigma^2} -2\log{\sigma}$$

This expression has to be maximized numerically (e.g. with optimize from R's stat package) to find $\hat\sigma$. (It turns out that $\hat\sigma=k(n)\cdot r$, where $k$ is a constant depending only on $n$—perhaps someone more mathematically adroit than I could show why.)

Estimates are no use without an accompanying measure of precision. The observed Fisher information can be evaluated numerically (e.g. with hessian from R's numDeriv package) & used to calculate approximate standard errors:

$$I(\mu)=-\left.\frac{\partial^2{\ell(\mu;\hat\sigma)}}{(\partial\mu)^2}\right|_{\mu=\hat\mu}$$ $$I(\sigma)=-\left.\frac{\partial^2{\ell(\sigma;\hat\mu)}}{(\partial\sigma)^2}\right|_{\sigma=\hat\sigma}$$

It would be interesting to compare the likelihood & the method-of-moments estimates for $\sigma$ in terms of bias (is the MLE consistent?), variance, & mean-square error. There's also the issue of estimation for those groups where the sample mean is known in addition to the minimum & maximum.

You need to relate the range to the standard deviation/variance.Let $\mu$ be the mean, $\sigma$ the standard deviation and $R=x_{(n)} - x_{(1)}$ be the range. Then for the normal distribution we have that $99.7$% of probability mass lies within 3 standard deviations from the mean. This, as a practical rule means that with very high probability,

$$\mu + 3\sigma \approx x_{(n)}$$ and

$$\mu - 3\sigma \approx x_{(1)}$$

Subtracting the second from the first we obtain

$$6\sigma \approx x_{(n)} - x_{(1)}= R$$ (this, by the way is whence the "six-sigma" quality assurance methodology in industry comes). Then you can obtain an estimate for the standard deviation by $$\hat \sigma = \frac 16 \Big(\bar x_{(n)} - \bar x_{(1)}\Big)$$ where the bar denotes averages. This is when you assume that all sub-samples come from the same distribution (you wrote about having expected ranges). If each sample is a different normal, with different mean and variance, then you can use the formula for each sample, but the uncertainty / possible inaccuracy in the estimated value of the standard deviation will be much larger.

Having a value for the mean and for the standard deviation completely characterizes the normal distribution.

It is straightforward to get the distribution function of the maximum of the normal distribution (see "P.max.norm" in code). From it (with some calculus) you can get the quantile function (see "Q.max.norm").

Using "Q.max.norm" and "Q.min.norm" you can get the median of the range that is related with N. Using the idea presented by Alecos Papadopoulos (in previous answer) you can calculate sd.

Try this:

N = 100000    # the size of the sample

# Probability function given q and N
P.max.norm <- function(q, N=1, mean=0, sd=1){
    pnorm(q,mean,sd)^N
} 
# Quantile functions given p and N
Q.max.norm <- function(p, N=1, mean=0, sd=1){
    qnorm(p^(1/N),mean,sd)
} 
Q.min.norm <- function(p, N=1, mean=0, sd=1){
    mean-(Q.max.norm(p, N=N, mean=mean, sd=sd)-mean)
} 

### lets test it (takes some time)
Q.max.norm(0.5, N=N)  # The median on the maximum
Q.min.norm(0.5, N=N)  # The median on the minimum

iter = 100
median(replicate(iter, max(rnorm(N))))
median(replicate(iter, min(rnorm(N))))
# it is quite OK

### Lets try to get estimations
true_mean = -3
true_sd = 2
N = 100000

x = rnorm(N, true_mean, true_sd)  # simulation
x.vec = range(x)                  # observations

# estimation
est_mean = mean(x.vec)
est_sd = diff(x.vec)/(Q.max.norm(0.5, N=N)-Q.min.norm(0.5, N=N))

c(true_mean, true_sd)
c(est_mean, est_sd)

# Quite good, but only for large N
# -3  2
# -3.252606  1.981593