Tại sao không sử dụng Beta (1,1) làm ranh giới tránh trước thông số tương quan được chuyển đổi?

Trong Phân tích dữ liệu Bayes , chương 13, trang 317, đoạn đầy đủ thứ hai, trong các xấp xỉ phương thức và phân phối, Gelman et al. viết:

Nếu kế hoạch tóm tắt suy luận theo chế độ sau của [tham số tương quan trong phân phối chuẩn bivariate], chúng tôi sẽ thay thế phân phối trước U (-1,1) bằng , tương đương với Beta (2,2) trên tham số được chuyển đổi . Mật độ trước và kết quả là 0 tại các ranh giới và do đó chế độ sau sẽ không bao giờ là -1 hoặc 1. Tuy nhiên, ... mật độ trước cho là tuyến tính gần ranh giới và do đó sẽ không mâu thuẫn với bất kỳ khả năng nào.p ( ρ ) α ( 1 - ρ ) ( 1 + ρ ) ρ + $\rho$$p(\rho) \propto (1 - \rho)(1 + \rho)$$\frac{\rho + 1}{2}$$\rho$

Dưới đây là một bản phân phối PDF cho bản phân phối Beta (2,2).

Mặc dù âm mưu được đưa ra cho miền [0,1], hình dạng giống với miền [-1,1] thu được bằng cách thực hiện nghịch đảo của phép biến đổi được mô tả trong trích dẫn ở trên. Đây là một phân phối khá nhiều thông tin! Nó cho mật độ khoảng bảy lần so với so với . Vì vậy, trên thực tế, nó sẽ mâu thuẫn với khả năng nếu khả năng chỉ về một thứ gì đó ở xa ranh giới, nhưng thậm chí xa hơn từ . Sẽ không có ranh giới tốt hơn tránh trước đó là Beta (1 + , 1 + ), trong đó . Lấy ví dụ: Beta (1.0001, 1.0001), được vẽ dưới đây:ρ+$\frac{\rho + 1}{2} = 0.5$ρ=0deltadeltadelta→$\frac{\rho + 1}{2} = 0.3,0.97$$\rho = 0$$\delta$$\delta$$\delta \rightarrow 0$

Tất nhiên, vấn đề với điều này là mật độ giảm rất mạnh gần bằng 0, điều này có thể mâu thuẫn với khả năng nó chỉ ra một không gian rất gần ranh giới. Điều này đưa tôi đến câu hỏi của tôi:

Tại sao không chỉ đặt trước tham số tương quan được chuyển đổi thành Beta (1,1)? Vì mật độ phân phối beta bằng 0 đối với , nên điều này tương đương với phân phối đồng đều trong khoảng thời gian mở (-1,1) thay vì khoảng đóng [-1, 1], và đó không phải là một ranh giới tránh trước, và nó không thích hợp hơn một ưu tiên đặt niềm tin khá mạnh mẽ vào xác suất , điều này chỉ mong muốn nếu bạn thực sự có niềm tin đó?ρ=$\frac{\rho + 1}{2} = 0,1$$\rho = 0$

Nói chung, không sử dụng phân phối beta theo định nghĩa một ranh giới tránh trước vì hỗ trợ của nó là ?$0 < \frac{\rho + 1}{2} < 1$

Trong trường hợp hàm khả năng được tối đa hóa ở , sử dụng Beta (1,1) trong một khoảng thời gian mở không giúp ích gì kể từ đó không có chế độ sau được xác định rõ. Không có điểm nào trong khoảng thời gian mở mà bạn có thể nói là chế độ sau. $\rho=-1$

Cuốn sách muốn ưu tiên là tuyến tính ở các ranh giới, trong đó chọn duy nhất Beta (2,2) trong số tất cả các bản phân phối Beta. Nhưng cuốn sách không bao giờ giải thích chính xác tại sao tuyến tính lại quan trọng như vậy.