Lấy công thức cho các giới hạn dự đoán trong mô hình tuyến tính (nghĩa là: các khoảng dự đoán)

Hãy lấy ví dụ sau:

set.seed(342)
x1 <- runif(100)
x2 <- runif(100)
y <- x1+x2 + 2*x1*x2 + rnorm(100)
fit <- lm(y~x1*x2)

Điều này tạo ra một mô hình của y dựa trên x1 và x2, sử dụng hồi quy OLS. Nếu chúng ta muốn dự đoán y cho một x_vec nhất định, chúng ta có thể chỉ cần sử dụng công thức chúng ta nhận được từ summary(fit).

Tuy nhiên, điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta muốn dự đoán các dự đoán thấp hơn và cao hơn của y? (cho một mức độ tự tin nhất định).

Làm thế nào sau đó chúng ta sẽ xây dựng công thức?

Bạn sẽ cần số học ma trận. Tôi không chắc chắn Excel sẽ đi với điều đó như thế nào. Dù sao, đây là các chi tiết.

Giả sử hồi quy của bạn được viết như .$\mathbf{y} = \mathbf{X}\mathbf{\beta} + \mathbf{e}$

Hãy là một vector hàng chứa các giá trị của các dự đoán cho các dự báo (trong định dạng giống như X ). Sau đó, dự báo được đưa ra bởi y = X * β = X * ( X ' X ) - 1 X ' Y với một sai liên σ 2 [ 1 + X * ( X ' X ) - 1$\mathbf{X}^*$$\mathbf{X}$

$$\hat{y} = \mathbf{X}^*\hat{\mathbf{\beta}} = \mathbf{X}^*(\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}'\mathbf{Y}$$ $$\sigma^2 \left[1 + \mathbf{X}^* (\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1} (\mathbf{X}^*)'\right].$$ Sau đó, một khoảng thời gian dự đoán 95% có thể được tính toán (giả sử lỗi phân phối bình thường) như y ± 1,96 σ √ Điều này tính đến độ không đảm bảo do thuật ngữ lỗievà độ không đảm bảo trong các ước tính hệ số. Tuy nhiên, nó bỏ qua bất kỳ sai sót trong X *. Vì vậy, nếu các giá trị tương lai của các yếu tố dự đoán là không chắc chắn, thì khoảng dự đoán được tính bằng biểu thức này sẽ quá hẹp. $$\hat{y} \pm 1.96 \hat{\sigma} \sqrt{1 + \mathbf{X}^* (\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1} (\mathbf{X}^*)'}.$$ $e$$\mathbf{X}^*$

Bạn có tình cờ sau các loại dự đoán khác nhau? Các predict.lmtrang hướng dẫn có

 ## S3 method for class 'lm'
 predict(object, newdata, se.fit = FALSE, scale = NULL, df = Inf, 
         interval = c("none", "confidence", "prediction"),
         level = 0.95, type = c("response", "terms"),
         terms = NULL, na.action = na.pass,
         pred.var = res.var/weights, weights = 1, ...)

và

Đặt 'khoảng' chỉ định tính toán khoảng tin cậy hoặc dự đoán (dung sai) ở 'mức' được chỉ định, đôi khi được gọi là khoảng hẹp so với khoảng rộng.

Đó có phải là những gì bạn có trong tâm trí?

@Tal: Tôi có thể đề nghị Kutner et al là một nguồn tuyệt vời cho các mô hình tuyến tính.

$E(Y|X_{vec})$

$E(Y|X_{vec})$$\hat{Y}$ $\pm$$\alpha$$\hat{Y}$$\hat{Y}$$\hat{Y}$$\frac{\sigma^{2}}{n}$$X_{vec}-\bar{X})^{2}\frac{\sigma^{2}}{\sum(X_{i}-\bar{X})^{2}}$