Đây là một vấn đề thực hành cho một kỳ thi giữa kỳ. Vấn đề là một ví dụ thuật toán EM. Tôi đang gặp rắc rối với một phần (f). Tôi liệt kê các phần (a) - (e) để hoàn thành và trong trường hợp tôi đã mắc lỗi trước đó.
Hãy để được độc lập biến ngẫu nhiên hàm mũ với tốc độ θ . Thật không may, các giá trị X thực tế không được quan sát và chúng tôi chỉ quan sát xem các giá trị X có nằm trong các khoảng nhất định hay không. Đặt G 1 j = 1 { X j < 1 } , G 2 j = 1 { 1 < X j < 2 } và G 3 j = 1 {X1,…,XnθXXG1j=1{Xj<1}G2j=1{1<Xj<2} choj=1,Hoài,n. Dữ liệu được quan sát bao gồm( G 1 j , G 2 j , G 3 j ).G3 j= 1 { Xj> 2 }j = 1 , ... , n( G1 j, G2 j, G3 j)
(a) Đưa ra khả năng dữ liệu được quan sát:
L ( q | G )= ∏j = 1nPr { Xj< 1 }G1 jPr { 1 < Xj< 2 }G2 jPr { Xj> 2 }G3 j= ∏j = 1n( 1 - e- θ)G1 j( e- θ- e- 2 θ)G2 j( e- 2 θ)G3 j
(b) Cung cấp khả năng dữ liệu đầy đủ
L ( q | X, G )= ∏j = 1n( θ e- θ xj)G1 j( θ e- θ xj)G2 j( θ e- θ xj)G3 j
(c) Lấy mật độ dự đoán của biến tiềm ẩn f( xj| G,θ)
f( xj| G,θ)= fX, G( xj, g)fG( g)= θ e- θ xj1 { xj∈ vùng r st Gr j= 1 }( 1 - e- θ)g1 j( e- θ- e- 2 θ)g2 j( e- 2 θ)g3 j
(d) Bước E. Cung cấp cho các chức năng Q ( θ , θTôi)
Q(θ,θi)=EX|G,θi[logf(x|G,θ)]=nlogθ−θ∑j=1nE[Xj|G,θi]−N1log(1−e−θ)−N2log(e−θ−e−2θ)−N3loge−2θ=nlogθ−θ∑j=1nE[Xj|G,θi]−N1log(1−e−θ)−N2log(e−θ(1−e−θ))+2θN3=nlogθ−θ∑j=1nE[Xj|G,θi]−N1log(1−e−θ)+θN2−N2log(1−e−θ)+2θN3
Trong đó N1=∑nj=1g1j,N2=∑nj=1g2j,N3=∑nj=1g3j
(e) Đưa ra biểu thức cho cho r = 1 , 2 , 3 .E[Xj|Grj=1,θi]r=1,2,3
Tôi sẽ liệt kê các kết quả của mình mà tôi khá chắc chắn là đúng nhưng các dẫn xuất sẽ hơi dài cho câu hỏi đã quá dài này:
E[Xj|G1j=1,θi]E[Xj|G2j=1,θi]E[Xj|G3j=1,θi]=(11−e−θi)(1θi−e−θi(1+1/θi))=(1e−θi−e−2θi)(e−θi(1+1/θi)−e−2θi(2+1/θi))=(1e−2θi)(e−2θi(2+1/θi))
Đây là phần tôi bị mắc kẹt và có thể là do một lỗi trước đó:
(f) M-Bước. Tìm các nhằm tối đa hóa Q ( θ , θ i )θQ(θ,θi)
Từ định luật tổng kỳ vọng ta có
ThereforE[Xj|G,θi]=(1θi−e−θi(1+1/θi))+(e−θi(1+1/θi)−e−2θi(2+1/θi))+(e−2θi(2+1/θi))=1/θi
Q(θ,θi)∂Q(θ,θi)∂θ=nlogθ−θ∑j=1nE[Xj|G,θi]−N1log(1−e−θ)+θN2−N2log(1−e−θ)+2θN3=nlogθ−θnθi−N1log(1−e−θ)+θN2−N2log(1−e−θ)+2θN3=nθ−nθi−(N1+N2)e−θ1−e−θ+N2+2N3
θθ