Định lý tổng kỳ vọng cho các quá trình Poisson

8

Tôi có hai quá trình Poisson độc lập $A$ và $B$ với tỷ lệ đến lần lượt là $\lambda_A$ và $\lambda_B$ Bây giờ, thời gian dự kiến cho sự xuất hiện của mặt hàng tiếp theo cho quá trình hợp nhất sẽ là $\frac {1}{\lambda_A+\lambda_B}$ .

Giả sử $T_{A+B}$ là thời gian đến của mục tiếp theo của quy trình kết hợp và $\{X=A\}$ hoặc $\{X=B\}$ là các sự kiện mà các mục từ quy trình $A$ hoặc $B$ , sử dụng luật tổng kỳ vọng , chúng tôi nhận được

\begin{aligned} E (T_{Một + B}) & = = E (T_{Một + B} | X = = Một) P [X = = Một] + E (T_{Một + B} | X = = B) P [X = = B] \\ = = {\frac{1}{λ}}_{Một} \frac{λ_{Một}}{λ_{Một} + λ_{B}} + {\frac{1}{λ}}_{B} \frac{λ_{B}}{λ_{Một} + λ_{B}} \\ = = \frac{2}{λ_{Một} + λ_{B}} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{E}(T_{A+B}) &= \mathbb{E}( T_{A+B} \mid X =A )\mathbb{P}[X = A] + \mathbb{E}( T_{A+B}\mid X =B)\mathbb{P}[X = B]\\ &= \frac 1\lambda_A \frac {\lambda_A}{\lambda_A+\lambda_B} + \frac 1\lambda_B\frac {\lambda_B}{\lambda_A+\lambda_B} \\ &= \frac {2}{\lambda_A+\lambda_B} \end{align}$ Tôi đang làm gì sai? Cảm ơn.

conditional-probability poisson-process

— người dùng90476
nguồn

3

Vấn đề này dường như là sự kỳ vọng có điều kiện

không phải là

khi bạn biết rằng sự xuất hiện đầu tiên là từ quá trình

.

E [T ∣ X = A]

${\rm E}[T \mid X = A]$

1 / a

$1/a$

A

$A$

— heropup

2

@heropup Cảm ơn bạn đã phản hồi. Với sự phân phối theo cấp số nhân của lần đến tiếp theo, tôi không chắc tại sao không nên là

.

\frac{1}{λ_{A}}

$\frac {1}{\lambda_A}$

— dùng90476

6

heropup là đúng. Vấn đề là một khi bạn biết rằng , không chỉ đơn thuần là rút ra từ mũ với tốc độ vì bạn cũng biết rằng giá trị lấy mẫu phải đủ nhỏ để giành chiến thắng so với các giả thuyết giá trị lấy mẫu từ . $X=A$ $X$ $\lambda_A$ $B$

Vì vậy, mật độ cho rằng là sản phẩm pointwise renormalized của mật độ của một hàm mũ với tốc độ và lũy bên phải của một hàm mũ với tốc độ . Điều này cho phép mật độ hàm mũ với tốc độ . Vì thế: $X=A$ $\lambda_A$ $\lambda_B$ $\lambda_A + \lambda_B$

như mong muốn.

\begin{aligned} E (T_{Một + B}) & = = E (T_{Một + B} | X = = Một) P [X = = Một] + E (T_{Một + B} | X = = B) P [X = = B] \\ = = \frac{1}{λ_{Một} + λ_{B}} \frac{λ_{Một}}{λ_{Một} + λ_{B}} + \frac{1}{λ_{Một} + λ_{B}} \frac{λ_{B}}{λ_{Một} + λ_{B}} \\ = = \frac{1}{λ_{Một} + λ_{B}} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{E}(T_{A+B}) &= \mathbb{E}( T_{A+B} \mid X =A )\mathbb{P}[X = A] + \mathbb{E}( T_{A+B}\mid X =B)\mathbb{P}[X = B]\\ &= \frac 1{\lambda_A+\lambda_B} \frac {\lambda_A}{\lambda_A+\lambda_B} + \frac 1{\lambda_A+\lambda_B}\frac {\lambda_B}{\lambda_A+\lambda_B} \\ &= \frac {1}{\lambda_A+\lambda_B} \end{align}$

— Neil G
nguồn

1

\begin{aligned} Pr (T_{Một + B} > t | X = = Một) \\ = = & \frac{Pr (T_{Một + B} > t & X = = Một)}{Pr (X = = Một)} \\ (1) & = = & \frac{Pr (t < T_{Một} < T_{B})}{Pr (X = = Một)}, \end{aligned}

$\begin{align} & \Pr( T_{A+B} > t \mid X=A) \\[10pt] = {} & \frac{\Pr(T_{A+B} > t\ \&\ X=A)}{\Pr(X=A)} \\[10pt] = {} & \frac{\Pr(t < T_A < T_B)}{\Pr(X=A)}, \tag 1 \end{align}$

${}$

\begin{aligned} và & Pr (t < T_{Một} < T_{B}) \\ = = & \int_{t}^{\infty} (\int_{bạn}^{\infty} e^{- λ_{Một} bạn} e^{- λ_{B} v} (λ_{B} d v)) (λ_{Một} d bạn) \\ = = & \int_{t}^{\infty} e^{- λ_{Một} bạn} e^{- λ_{B} bạn} (λ_{Một} d bạn) = = e^{- (λ_{Một} + λ_{B}) t} \cdot \frac{λ_{Một}}{λ_{Một} + λ_{B}} . \end{aligned}

$\begin{align} \text{and } & \Pr(t < T_A < T_B) \\[10pt] = {} & \int_t^\infty \left( \int_u^\infty e^{-\lambda_A u} e^{-\lambda_B v} (\lambda_B\, dv) \right) (\lambda_A \, du) \\[10pt] = {} & \int_t^\infty e^{-\lambda_A u} e^{-\lambda_B u} (\lambda_A\,du) = e^{-(\lambda_A+\lambda_B)t} \cdot \frac{\lambda_A}{\lambda_A + \lambda_B}. \end{align}$

(1)

$(1)$

e^{- (λ_{A} + λ_{B}) t},

$e^{-(\lambda_A + \lambda_B)t},$

Pr (T_{A + B} > t) .

$\Pr(T_{A+B} > t).$

$[T_{A+B} >t]$ $[X=A]$

— Michael Hardy
nguồn