Tại sao người ta không thể khái quát hóa bài kiểm tra Kolmogorov-Smirnov thành 2 chiều trở lên?

Câu hỏi nói lên tất cả. Tôi đã đọc cả hai rằng người ta không thể khái quát hóa KS thành một thứ nguyên bằng hoặc lớn hơn hai , và việc triển khai nổi tiếng như thế trong Công thức toán số chỉ đơn giản là sai. Bạn có thể vui lòng giải thích tại sao là như vậy?

Tôi tin rằng việc trích dẫn phần có liên quan của đoạn văn được đề cập là hợp pháp:

3. Không thể áp dụng thử nghiệm KS ở hai chiều trở lên. Các nhà thiên văn học thường có các bộ dữ liệu với các điểm được phân phối trong một mặt phẳng hoặc các kích thước cao hơn, dọc theo một đường thẳng. Một số bài viết trong mục đích văn học thiên văn để trình bày một bài kiểm tra KS hai chiều, và một bài được sao chép trong tập Công thức Numerical nổi tiếng. Tuy nhiên, không có thử nghiệm dựa trên EDF nào (bao gồm các thử nghiệm KS, AD và các thử nghiệm liên quan) có thể được áp dụng ở hai chiều hoặc cao hơn, bởi vì không có cách duy nhất nào để sắp xếp các điểm sao cho khoảng cách giữa các EDF được xác định rõ có thể được tính toán. Người ta có thể xây dựng một thống kê dựa trên một số thủ tục đặt hàng, sau đó tính khoảng cách tối cao giữa hai bộ dữ liệu (hoặc một bộ dữ liệu và một đường cong). Nhưng các giá trị quan trọng của thống kê kết quả không phải là phân phối miễn phí.

Như đã nêu, điều này có vẻ quá mạnh mẽ.

1) Hàm hai biến phân phối, đó là là một bản đồ từ R 2 đến [ 0 , 1 ] . Nghĩa là, hàm lấy các giá trị thực đơn từ 0 đến 1. Các giá trị đó - là xác suất - chắc chắn đã được "đặt hàng" - và điều này (giá trị của hàm) là điều chúng ta cần so sánh trong các thử nghiệm dựa trên ECDF . Tương tự, ecdf, $F(x_1,x_2) = P(X_1\leq x_1,X_2\leq x_2)$$\mathbb{R}^2$$[0,1]$$\hat F$ được xác định hoàn toàn tốt trong trường hợp bivariate.

Tôi không nghĩ rằng nhất thiết phải cố gắng biến nó thành một số chức năng của một biến kết hợp đơn biến như văn bản gợi ý. Bạn chỉ cần tính toán và F ở mọi sự kết hợp cần thiết và tính toán độ lệch.$F$$\hat F$

2) Tuy nhiên, về câu hỏi liệu nó có phân phối không, họ có một điểm:

$\mathbf{U}=(U_1,U_2)$$(X_1,X_2)$$U_i=F_i(X_i)$

$U$$X^* = \mathbf{g}(\mathbf{U})$

Trong một phiên bản trước của câu trả lời của tôi, tôi đã nói:

Không có khó khăn, không có vấn đề

Sai rồi. Thực sự có vấn đề nếu có một sự thay đổi không chỉ về lợi nhuận từ đồng phục độc lập bivariate, như vừa đề cập. Tuy nhiên, những khó khăn đó đã được xem xét theo nhiều cách trong một số bài báo đưa ra các phiên bản bivariate / multivariate của thống kê Kolmogorov-Smirnov không gặp phải vấn đề đó.

Tôi có thể quay lại và thêm một số tài liệu tham khảo đó và một số thảo luận về cách chúng hoạt động ngay khi thời gian cho phép.