trong đó và được phân phối một cách hợp lý

Tôi đang cố gắng tính toán kỳ vọng cho (đối với , kỳ vọng là vô hạn) nếu được phân phối lognormally, tức là .

E [e^{c X}]

$E[e^{cX}]$

c < 0

$c<0$

c > 0

$c>0$

X

$X$

\log (X) \sim N (μ, σ)

$\log(X) \sim N(\mu, \sigma)$

Ý tưởng của tôi là viết kỳ vọng dưới dạng tích phân, nhưng tôi không thấy cách tiến hành:

E [e^{c X}] = \frac{1}{\sqrt{2 σ π}} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} \exp (c x - \frac{(\log x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}) d x

$E[e^{cX}] = \frac{1}{\sqrt{2\sigma\pi}}\int_0^\infty \frac{1}{x}\exp\left(cx - \frac{(\log x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)dx$

Tôi cũng đã thử công thức Itô (nhiệm vụ thực tế là tìm trong đó là một chuyển động Brownian hình học, nhưng nó giảm đến vấn đề ở trên vì chúng tôi đang xem xét một quy trình Markov) , nhưng điều đó cũng không có vẻ hứa hẹn. Ai có thể giúp tôi? $E[e^{cX_T} \mid X_t = x]$ $X$

— Elias Stroundle
nguồn

Bạn nên xem xét chỉnh sửa câu hỏi của mình (bằng cách nhấp vào liên kết "chỉnh sửa" ở phía dưới bên trái) để thêm thẻ tự học vào câu hỏi này.

— Alexis

Điều này chỉ tồn tại như một chuỗi quyền lực chính thức không có biểu thức dạng đóng.

— whuber

Cảm ơn bạn rất nhiều! Mặc dù đây không phải là điều tôi hy vọng, nhưng nó cũng chứng minh giáo sư của tôi sai. Và đó là một thành tựu của riêng nó ;-)

— Elias Strehle

Những gì bạn muốn là chức năng tạo thời điểm của một biến lognatural, được biết đến là một vấn đề khó khăn. Ngoài ra, đây là biến đổi Laplace, là biểu thức của bạn với thay thế bằng . Bạn nên xem https://en.wikipedia.org/wiki/Log-n normal_distribution có một số thông tin hữu ích. $c$ $-c$

Bài viết "Về sự biến đổi Laplace của phân phối lognatural" của Søren Asmussen, Jens Ledet Jensen và Leonardo Rojas-Nandayapa đưa ra sự gần đúng sau đây, mà họ điều tra chi tiết. Đặt là bất thường với các tham số , có nghĩa là với . Biến đổi Laplace là trong đó . Vì vậy, chúng tôi xem xét biến đổi Laplace . Sau đó, họ đưa ra xấp xỉ cho : $X$ $(\mu, \sigma^2)$ $X=e^Y$ $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$

E (\exp (- θ e^{y}) = e^{- θ μ} E (\exp (- θ e^{Y_{0}})

$E(\exp(-\theta e^y) = e^{-\theta \mu} E(\exp(-\theta e^{Y_0})$

Y_{0} \sim N (0, σ^{2})

$Y_0 \sim N(0,\sigma^2)$

L (θ) = E (\exp (- θ e^{Y_{0}})

$L(\theta) = E(\exp(-\theta e^{Y_0})$

L (θ)

$L(\theta)$

\frac{1}{\sqrt{1 + W (θ σ^{2})}} \exp {- \frac{1}{2 σ^{2}} W (θ σ^{2})^{2} - \frac{1}{σ^{2}} W (θ σ^{2})}

$\frac1{\sqrt{1+W(\theta \sigma^2)}}\exp\left\{ -\frac1{2\sigma^2} W(\theta \sigma^2)^2 - \frac1{\sigma^2} W(\theta \sigma^2) \right\}$ trong đó là không âm. Ở đây là hàm Lambert W, xem https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_feft . (Sau đó, bài báo xem xét chất lượng của xấp xỉ này và so sánh nó với các xấp xỉ cũ hơn).

θ

$\theta$

W

$W$

— kjetil b halvorsen
nguồn