Giá trị mong đợi của , hệ số xác định, theo giả thuyết null

Tôi tò mò về báo cáo kết quả thực hiện ở dưới cùng của trang đầu tiên trong văn bản này về điều chỉnh $R^2_\mathrm{adjusted}$

R_{a d j u s t e d}^{2} = 1 - (1 - R^{2}) (\frac{n - 1}{n - m - 1}) .

$R^2_\mathrm{adjusted} =1-(1-R^2)\left({\frac{n-1}{n-m-1}}\right).$

Văn bản nêu rõ:

Logic của việc điều chỉnh như sau: trong hồi quy nhiều bình thường, một dự đoán ngẫu nhiên giải thích trên một tỷ lệ trung bình của biến thể của phản ứng, do đó dự đoán ngẫu nhiên giải thích với nhau, trên trung bình, biến thể của phản ứng; nói cách khác, giá trị mong đợi của là . Áp dụng công thức [ ] cho giá trị đó, trong đó tất cả các yếu tố dự đoán là ngẫu nhiên, sẽ cho " $1/(n – 1)$ $m$ $m/(n – 1)$ $R^2$ $\mathbb{E}(R^2) = m/(n – 1)$ $R^2_\mathrm{adjusted}$ $R^2_\mathrm{adjusted} = 0$

Đây dường như là một động lực rất đơn giản và có thể giải thích được cho $R^2_\mathrm{adjusted}$ . Tuy nhiên, tôi đã không thể tìm ra $\mathbb{E}(R^2)=1/(n – 1)$ cho công cụ dự đoán ngẫu nhiên (tức là không tương quan).

Ai đó có thể chỉ cho tôi đi đúng hướng ở đây?

— gregory_britten
nguồn

Trong trường hợp liên kết bị chết trong tương lai, bạn có thể cung cấp một tài liệu tham khảo đầy đủ không? Cảm ơn bạn.

— Richard Hardy

Đây là số liệu thống kê toán học chính xác. Xem bài đăng này để lấy đạo hàm của phân phối theo giả thuyết rằng tất cả các biến hồi quy (không phải là thuật ngữ không đổi) không tương thích với biến phụ thuộc ("dự đoán ngẫu nhiên"). $R^2$

Phân phối này là Beta, với là số lượng dự đoán mà không tính số hạng không đổi và kích thước mẫu, $m$ $n$

R^{2} \sim B e t a (\frac{m}{2}, \frac{n - m - 1}{2})

$R^2 \sim Beta\left (\frac {m}{2}, \frac {n-m-1}{2}\right)$

và vì thế

E (R^{2}) = \frac{m / 2}{(m / 2) + [(n - m - 1) / 2]} = \frac{m}{n - 1}

$E(R^2) = \frac {m/2}{(m/2)+[(n-m-1)/2]} = \frac{m}{n-1}$

Đây dường như là một cách thông minh để "biện minh" cho logic đằng sau điều chỉnh : nếu thực sự tất cả các biến hồi quy đều không tương thích, thì được điều chỉnh là "trung bình" bằng không. $R^2$ $R^2$

— Alecos Papadopoulos
nguồn

Chỉ cần một chút thông tin tôi cần! Cảm ơn bạn! Và trao đổi Stack sống lâu!

— gregory_britten

Tôi sẽ quan tâm đến trường hợp không phải tất cả các biến hồi quy đều không tương thích với biến phụ thuộc. Bạn có bất cứ tài liệu tham khảo về điều này?

— Olivier

@Olivier Không tôi không sợ. Xem trong "Kiểm tra F về ý nghĩa hồi quy, phân phối theo phương án" hoặc đại loại như thế.

— Alecos Papadopoulos