Phân phối Student-t có phải là phân phối ổn định của Lévy không?

7

Để có phân phối Student-t, sao cho $X$

\begin{aligned} f_{X} (x | ν, μ, β) = \frac{Γ (\frac{ν + 1}{2})}{Γ (\frac{ν}{2}) \sqrt{π ν} β} {(1 + \frac{1}{ν} {(\frac{x - μ}{β})}^{2})}^{- \frac{1 + ν}{2}} \end{aligned}

$\begin{align*} f_X(x|\nu ,\mu ,\beta) = \frac{\Gamma (\frac{\nu+1}{2})}{\Gamma (\frac{\nu}{2}) \sqrt{\pi \nu} \beta} \left(1+\frac{1}{\nu}\left(\frac{x - \mu}{\beta}\right)^2 \right)^{\text{$-\frac{1+\nu}{2}$}} \end{align*}$

Tôi biết rằng các bản phân phối Student-t cho thấy một luật quyền lực ở phần đuôi. Tôi cũng biết rằng các phân phối ổn định của Lévy (ví dụ với chức năng đặc trưng sau:

\begin{aligned} ϕ (t | α, β, c, μ) = e x p [i t μ - | c t |^{α} (1 - i β s g n (t) Φ)] \end{aligned}

$\begin{align*} \phi(t|\alpha ,\beta, c ,\mu) = exp[i t \mu - |ct|^\alpha (1-i\beta sgn(t) \Phi)] \end{align*}$

trong đó $sgn(t)$ là dấu hiệu của $t$ và $\Phi= tan(\frac{\pi \alpha}{2}) \quad \forall \alpha$ ngoại trừ $\alpha =1$ khi $\Phi = -\frac{2}{\pi} log|t|$ ) có luật công suất ở đuôi, do đó hành vi tiệm cận đối với lớn $x$ của rv $X$ Lévy phân bố ổn định là:

f_{X} (x) \propto \frac{1}{| x |^{1 + α}}

$f_X(x) \propto \frac{1}{|x|^{1+\alpha}}$

Câu hỏi của tôi là: phân phối Student-t có ổn định không? Hay nói cách khác, một luật sức mạnh ở đuôi có ngụ ý phân phối ổn định Lèvy không?

— Câu đố
nguồn

1

Một phát hiện thực nghiệm mà tôi đã tìm thấy trong quá khứ là việc cắt giảm khoảng 90% phân phối t và ổn định alpha có kết quả tương tự từ công cụ ước tính Hill khi alpha = 2 - 1 / DF, vì vậy mặc dù chúng khác nhau nhưng có rất nhiều có điểm tương đồng: - ở một cực alpha = 1 và DF = 1 cả hai đều là Cauchy - khác với alpha = 2 và DF = vô cực cả hai đều Bình thường - ở giữa mối quan hệ được mô tả ở trên có thể được sử dụng để tạo ra sự tương đương thô giữa các cực trị này - hình dạng của Đuôi vượt quá 90% là khác nhau vì Cauchy cực hơn ở đuôi rất xa

— James65

5

Một trong những đặc điểm đặc trưng của phân phối ổn định Levy là các tổ hợp tuyến tính của các bản sao độc lập có cùng phân phối, tùy theo vị trí và tỷ lệ. Vì vậy, nếu tài sản này không giữ, phân phối không thể ổn định Levy. Tương tự chức năng đặc trưng không phải là dạng Levy.

Trong trường hợp phân phối t sinh viên, nó có một chức năng đặc trưng trông giống như:

\frac{K_{v / 2} (\sqrt{v} | t |) (\sqrt{v} | t |)^{v / 2}}{Γ (v / 2) 2^{v / 2 - 1}},

$\frac{K_{v/2}(\sqrt{v}|t|)(\sqrt{v}|t|)^{v/2}}{\Gamma(v/2)2^{v/2-1}},$

mà nói chung sẽ không có dạng Levy.

— Alex R.
nguồn

4

Vì hầu hết mọi người có thể không rõ ràng ngay lập tức rằng hình thức CF sinh viên này không thể được viết ở dạng ổn định Levy, thật tuyệt khi thấy một số minh chứng cho sự bất khả thi đó.

— whuber

Vì vậy, phân phối ổn định nhất thiết phải bao hàm một luật công suất ở các đuôi (ngoài Bình thường), nhưng một luật công suất ở các đuôi không nhất thiết có nghĩa là phân phối ổn định?

— Câu đố

1

Từ phía bên kia, Phân phối sinh viên là một phân phối chia vô hạn và như vậy là phân phối của một số quy trình Levy. Sao nó có thể?

— zer0hedge

2

trường hợp $\nu>2$

Để mở rộng trình duyệt của Alex, chúng ta có thể tạo một loại đối số khác cho : $\nu>2$

Các bản phân phối ổn định Lévy có phương sai vô hạn cho tham số ổn định . $\alpha < 2$
Nhưng phân phối t có phương sai hữu hạn cho các mức độ của tham số tự do . $\nu > 2$
Và phân phối Gaussian đã là phân phối ổn định Lévy (duy nhất) với . $\alpha=2$

Do đó, phải là trường hợp phân phối t tổng quát không thể là phân phối ổn định Lévy.

Một cách khác để thấy điều này là (do phương sai hữu hạn và CLT), phân phối của một tổng các biến phân phối t phải hội tụ thành phân phối chuẩn. Do đó, phân phối t không thể là phân phối ổn định Lévy.

trường hợp $1 \leq \nu \leq 2$

Trong những trường hợp này, chúng tôi không thể sử dụng đối số ở trên. Một cách để xem xét là kiểm tra chức năng đặc trưng (như câu trả lời của Alex đề cập). Trong trường hợp biến thể tỷ lệ vị trí, đây là:

φ (t) = e^{i t μ} \frac{K_{\frac{ν}{2}} (\sqrt{ν} | σ t |) {(\sqrt{ν} | σ t |)}^{\frac{ν}{2}}}{Γ (\frac{ν}{2}) 2^{\frac{ν}{2} - 1}}

$\varphi(t) = e^{it\mu} \frac{K_{\frac{\nu}{2}}\left( \sqrt{\nu} \vert \sigma t \vert \right) \left(\sqrt{\nu} \vert \sigma t \vert \right)^{\frac{\nu}{2}} }{\Gamma \left( \frac{\nu}{2}\right) 2^{\frac{\nu}{2}-1} }$

với hàm Bessel đã sửa đổi của loại thứ hai. $K_{\lambda}(w)$

K_{λ} (w) = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} x^{λ - 1} e^{- \frac{1}{2} w (x + 1 / x)} d x

$K_{\lambda}(w) = \frac{1}{2} \int_0^\infty x^{\lambda-1} e^{-\frac{1}{2}w\left(x + 1/x \right)} dx$

^{Xem Dae-Kun Song, Hyoung-Jin Park, Hyoung-Moon Kim A Lưu ý về chức năng đặc trưng của phân phối đa biến}

Trong trường hợp $\mathbf{\nu = 1}$ phân phối t giống như phân phối Cauchy được biết là ổn định Lévy.

Trong trường hợp đặc biệt này, thuật ngữ có chức năng Bessel đã sửa đổi là và bạn kết thúc với
$K_{\frac{1}{2}} (| σ t |) = \sqrt{\frac{2}{π | σ t |}} e^{- | σ t |}$ $K_{\frac{1}{2}}(\vert \sigma t \vert) = \sqrt{\frac{2}{\pi \vert \sigma t \vert }}e^{-\vert \sigma t\vert }$ $φ (t) = e^{i t μ + | σ t |}$ $\varphi(t) = e^{it\mu + \vert \sigma t \vert }$
Trong trường hợp $\mathbf{1 < \nu \leq 2}$ phân phối t và hàm khó đánh giá hơn. Nhưng, chúng ta có thể đưa ra một đối số theo hướng ngược lại và giả sử rằng phải ở dạng nào đó và sau đó xem liệu đó có phải là một giải pháp của phương trình Bessel không. $K_\nu$ $K_\nu$

Giả sử một số phân phối t với là Lévy ổn định, thì hàm đặc trưng sẽ cần có dạng với và (trong những trường hợp này giá trị trung bình là hữu hạn và phương sai vô hạn). ^{Trên thực tế,}^{phân phối Holtsmark}^là^{phân phối}^{rõ ràng duy nhất hiện được biết có dạng này với các điều kiện này.} $1 < \nu \leq 2$
$φ (t) = e^{i t μ - c t^{α}}$ $\varphi(t)=e^{it\mu -ct^\alpha}$ $c>0$ $1 < \alpha < 2$
Nếu phân phối t cho một cụ thể có dạng như vậy thì hàm Bessel đã sửa đổi của loại thứ ba có thể cần phải có dạng: chúng ta có thể kiểm tra điều này bằng cách cắm nó vào phương trình Bessel đã sửa đổi trở thành Trong đó chỉ có giải pháp là Cauchy trường hợp phân phối. Do đó, không có phân phối t nào khác là Lévy ổn định. $\nu$
$K_{λ = \frac{ν}{2}} (w) \propto w^{- ν / 2} e^{- w^{α}}$ $K_{\lambda = \frac{\nu}{2}}(w) \propto w^{-\nu/2}e^{-w^\alpha }$ $x^{2} y^{″} + x y^{'} - (x^{2} + λ^{2}) y = 0$ $x^2y'' + xy' - (x^2+\lambda^2)y = 0$ $α x^{2 α} - α (α - ν) x^{α} - x^{2} = 0$ $\alpha x^{2\alpha}-\alpha(\alpha - \nu) x^\alpha - x^2 = 0$ $\nu = \alpha = 1$

— Sextus Empiricus
nguồn

Phân phối Student-t có phải là phân phối ổn định của Lévy không?

trường hợpν>2ν>2\nu>2

trường hợp1≤ν≤21≤ν≤21 \leq \nu \leq 2

trường hợp $\nu>2$

trường hợp $1 \leq \nu \leq 2$