Khoảnh khắc thứ

Nếu trong đó hỗ trợ của là . Vì vậy, . Sau đó nói tôi giả sử có khoảnh khắc hữu hạn. Khi , tôi biết điều đó có nghĩa rằng nơi là mật độ liên quan của . Toán học nào tương đương với giả sử có khoảnh khắc hữu hạn khi ? $X \sim F$ $X$ $\mathbb{R}^p$ $X = (X_1, X_2, \dots, X_p)$ $X$ $k$ $p = 1$

\int_{R} x^{k} f (x) d x < \infty,

$\int_{\mathbb{R}} x^k\, f(x)\, dx < \infty,$

f (x)

$f(x)$

F

$F$

X

$X$

k

$k$

p > 1

$p > 1$

Trong liên kết này , trên trang 2, các tác giả xác định thời điểm thứ là trong đólà chỉ tiêu Euclide. $k$

E ‖ X ‖^{k} = \int ‖ X ‖^{k} f (x) d x,

$E\|X\|^k = \int \|X\|^k f(x) \, dx,$

‖ \cdot ‖

$\| \cdot\|$

Câu trả lời của Glen_b ở đây gợi ý rằng khoảnh khắc thứ sẽ là $k$

\int x_{1}^{k} x_{2}^{k} \dots x_{p}^{k} f (x) d x .

$\int x_1^kx_2^k \dots x_p^k \, f(x) dx.$

Có phải giả sử cái này là hữu hạn ngụ ý cái kia là hữu hạn?

— Công viên xanh
nguồn

Bạn đã thấy ngôn ngữ này được sử dụng cho ở đâu đó chưa? Về cơ bản với các khoảnh khắc sẽ là các bậc thang thứ tự . Vì vậy, với bạn có một vectơ trung bình, với bạn có ma trận phương sai (co-), với bạn sẽ có một thang đo "xiên" , v.v. (Giả sử khoảnh khắc về giá trị trung bình, với )

p > 1

$p>1$

p > 1

$p>1$

k_{t h}

$k_{th}$

k = 1

$k=1$

k = 2

$k=2$

k = 3

$k=3$

3_{r d}

$3_{rd}$

k > 1

$k>1$

— GeoMatt22

@ GeoMatt22 Điều đó đúng. Vâng, tôi đã thấy ngôn ngữ được sử dụng. Ví dụ ở đây, họ nói về khoảnh khắc hữu hạn của một vectơ ngẫu nhiên.

2 + δ

$2 + \delta$

— Greenparker

Có lẽ ý nghĩa sẽ là tất cả các mục của tenor thời điểm là hữu hạn?

— GeoMatt22

@Greenparker bạn có thể trích dẫn đoạn văn đó trong văn bản không? Không thể tìm thấy nó.

— ekvall

@ Student001 Rất tiếc, liên kết sai. Đây là liên kết đúng. Nhìn vào tuyên bố Định lý 4, trang 6.

— Greenparker

Câu trả lời:

Câu trả lời là trong tiêu cực, nhưng vấn đề có thể được khắc phục.

Để xem có gì sai, hãy để phân phối Student t với hai bậc tự do. Đặc tính nổi bật của nó là rằng là hữu hạn nhưng . Hãy xem xét phân phối bivariate của . Đặt là phần tử phân phối của nó (là số ít: nó chỉ được hỗ trợ trên đường chéo $X$ $\mathbb{E}(|X|)$ $\mathbb{E}(|X|^2)=\infty$ $(X,X)$ $f(x,y)dxdy$ $x=y$ ). Dọc theo đường chéo, , từ đâu $||(x,y)||=|x|\sqrt{2}$

E (| | (X, X) | |^{1}) = E (\sqrt{2} | X |) < \infty

$\mathbb{E}\left(||(X,X)||^1\right) = \mathbb{E}\left(\sqrt{2}|X|\right) \lt \infty$

trong khi

\iint x^{1} y^{1} f (x, y) d x d y = \int x^{2} f (x, x) d x = \infty .

$\iint x^1 y^1 f(x,y) dx dy = \int x^2 f(x,x) dx = \infty.$

Tính toán tương tự trong kích thước nên làm cho nó rõ ràng rằng $p$

\int \dots \int | x_{1} |^{k} | x_{2} |^{k} \dots | x_{p} |^{k} f (x_{1}, \dots, x_{p}) d x_{1} \dots d x_{p}

$\int\cdots\int |x_1|^k|x_2|^k\cdots |x_p|^k f(x_1,\ldots, x_p)dx_1\cdots dx_p$

thực sự là một khoảnh khắc của thứ tự , không phải . Để biết thêm về các khoảnh khắc đa biến, vui lòng xem Let là một vectơ ngẫu nhiên. Là khoảnh khắc thứ của được xem xét? . $pk$ $k$ $\mathbf{Y}$ $k$ $\mathbf{Y}$

Để tìm ra những mối quan hệ nên có giữa những khoảnh khắc đa biến và những khoảnh khắc của chuẩn mực, chúng ta sẽ cần hai bất đẳng thức. Hãy để là bất kỳ vector chiều và để là số dương. Viết để tổng hợp của họ (ám chỉ $x=(x_1, \ldots, x_p)$ $p$ $k_1, k_2, \ldots, k_p$ $k=k_1+k_2+\cdots k_p$ $k_i/k \le 1$ cho tất cả ). Đặt là bất kỳ số dương nào (trong ứng dụng, cho chỉ tiêu Euclide, nhưng hóa ra không có gì đặc biệt về giá trị ). Như thông lệ, viết $i$ $q \gt 0$ $q=2$ $2$

| | x | |_{q} = {(\sum_{i} | x_{i} |^{q})}^{1 / q} .

$||x||_q = \left(\sum_i |x_i|^q\right)^{1/q}.$

Trước tiên, hãy áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các số không âm với trọng số . Điều này khẳng định rằng trung bình hình học có trọng số không thể vượt quá trung bình số học có trọng số: $|x_i|^q$ $k_i$

{(\prod_{i} (| x_{i} |^{q})^{k_{i}})}^{1 / k} \leq \frac{1}{k} \sum_{i} k_{i} | x_{i} |^{q} .

$\left(\prod_i (|x_i|^q)^{k_i}\right)^{1/k} \le \frac{1}{k}\sum_i k_i|x_i|^q.$

$k_i/k$ $1$ $k/q$

\begin{matrix} (1) & \prod_{i} | x_{i} |^{k_{i}} = {({(\prod_{i} (| x_{i} |^{q})^{k_{i}})}^{1 / k})}^{k / q} \leq {(\sum_{i} | x_{i} |^{q})}^{k / q} = | | x | |_{q}^{k} . \end{matrix}

$\prod_i |x_i|^{k_i} = \left(\left(\prod_i (|x_i|^q)^{k_i}\right)^{1/k}\right)^{k/q} \le \left(\sum_i |x_i|^q\right)^{k/q} = ||x||_q^k.\tag{1}$

$||x||_q$ $|x_i|^q$ $\max(|x_i|^q) = \max(|x_i|)^q$

| | x | |_{q} \leq {(\sum_{i} max (| x_{i} |^{q}))}^{1 / q} = {(p max (| x_{i} |)^{q})}^{1 / q} = p^{1 / q} max (| x_{i} |) .

$||x||_q \le \left(\sum_i \max(|x_i|^q)\right)^{1/q} = \left(p \max(|x_i|)^q\right)^{1/q} = p^{1/q} \max(|x_i|).$

$k^\text{th}$

\begin{matrix} (2) & | | x | |_{q}^{k} \leq p^{k / q} max (| x_{i} |^{k}) \leq p^{k / q} \sum_{i} | x_{i} |^{k} . \end{matrix}

$||x||_q^k \le p^{k/q} \max(|x_i|^k) \le p^{k/q} \sum_i |x_i|^k.\tag{2}$

Như một vấn đề của ký hiệu, viết

μ (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{p}) = \int \dots \int | x_{1} |^{k_{1}} | x_{2} |^{k_{2}} \dots | x_{p} |^{k_{p}} f (x) d x .

$\mu(k_1,k_2,\ldots,k_p) = \int\cdots \int |x_1|^{k_1}|x_2|^{k_2}\cdots|x_p|^{k_p} f(x)\,dx.$

$(k_1,k_2,\ldots,k_p)$ $k$ $f$ $(1)$

\begin{matrix} (3) & μ (k_{1}, \dots, k_{p}) \leq \int \dots \int | | x | |_{q}^{k} f (x) d x = E (| | X | |_{q}^{k}) \end{matrix}

$\mu(k_1,\ldots,k_p) \le \int\cdots\int ||x||_q^k f(x)\,dx = \mathbb{E}(||X||_q^{k})\tag{3}$

$(2)$

\begin{matrix} (4) & E (| | X | |_{q}^{k}) \leq p^{k / q} (μ (k, 0, \dots, 0) + μ (0, k, 0, \dots, 0) + \dots + μ (0, \dots, 0, k)) . \end{matrix}

$\mathbb{E}(||X||_q^{k})\le p^{k/q}\left(\mu(k,0,\ldots,0) + \mu(0,k,0,\ldots,0) + \cdots + \mu(0,\ldots,0,k)\right).\tag{4}$

$k^\text{th}$ $(3)$ $(4)$

$k^\text{th}$ $\mathbb{E}(||X||_q^{k})$
$\mathbb{E}(||X||_q^{k})$ $\mu(k_1,\ldots,k_p)$ $k_1+\cdots +k_p=k$

$k$ $k$

Như vậy

$q \gt 0$ $k^\text{th}$ $L_q$ $\mathbb{E}(||X||_q^{k})$ $k$

— whuber
nguồn

Những khoảnh khắc cao hơn nên được coi là tenxơ và do đó các chỉ tiêu tenxơ.

— Henry.L

@Henry Bạn có thể giải thích về cách thức và lý do tại sao điều đó sẽ được xem xét áp dụng trong chủ đề này?

— whuber

Xin chào, xin vui lòng xem câu trả lời của tôi dưới đây.

— Henry.L

Câu trả lời của @whuber là chính xác và sáng tác.

Tôi đã viết chủ đề này chỉ để giải thích tại sao một vấn đề như vậy có thể được giải quyết tốt hơn trong ngôn ngữ của tenor. Trước đây tôi đã nghĩ rằng quan điểm tenor được chấp nhận rộng rãi trong cộng đồng thống kê, bây giờ tôi biết đây không phải là trường hợp.

$\boldsymbol{X}=(X_{1},\cdots X_{p})$ $\kappa^{i,j}=E(X_{i}-EX_{i})(X_{j}-EX_{j})$ $Y_{r}=\boldsymbol{A}_{r}\boldsymbol{X}+b_{r}$ $\boldsymbol{Y=AX+b})$ $Y_{r},Y_{s}$

κ^{r, s} = \frac{\partial Y_{r}}{\partial X_{i}} \frac{\partial Y_{s}}{\partial X_{j}} κ^{i, j}

$\kappa^{r,s}=\frac{\partial Y_{r}}{\partial X_{i}}\frac{\partial Y_{s}}{\partial X_{j}}\kappa^{i,j}$

L^{p}

$L^{p}$

Về lý do tại sao chúng ta nên chấp nhận một quan điểm như vậy, câu chuyện dài hơn nhiều, nhưng một nhận xét ngắn gọn đang theo sau.

Tài liệu tham khảo kinh điển trong việc thiết lập quan điểm này là [McCullagh] và sau đó là các tác phẩm phân tán trong văn học "học máy". Nhưng nguồn gốc của một quan điểm như vậy thực sự được theo đuổi sớm hơn nhiều trong các tác phẩm của Bayes [Jeffereys]. Một quan điểm như vậy chắc chắn giúp hình dung và có thể thúc đẩy một số nghiên cứu về phân tích hình dạng thống kê như những tác phẩm đầu tiên của Mardia.

$\blacksquare$

[McCullagh] http://www.stat.uchicago.edu/~pmcc/tensorbook/ch1.pdf

[Jeffreys] Jeffreys, Harold. Căng thẳng Cartesian. Nhà xuất bản Đại học Cambridge, 1931.

— Henry.
nguồn