Ước tính tham số cho phân bố tam giác

Một câu hỏi đã được đăng ở đây (hiện đã bị xóa) liên quan đến việc ước tính các tham số của phân bố tam giác , có mật độ

f (x; a, b, c) = {\begin{cases} 0 & for x < a, \\ \frac{2 (x - a)}{(b - a) (c - a)} & for a \leq x \leq c, \\ \frac{2 (b - x)}{(b - a) (b - c)} & for c < x \leq b, \\ 0 & for b < x . \end{cases}

$f(x;a,b,c)=\begin{cases} \quad 0 & \text{for } x < a, \\ \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \text{for } a \le x \le c, \\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \text{for } c < x \le b, \\\quad 0 & \text{for } b < x. \end{cases}$

Nhưng câu hỏi đáng để hỏi, vì vậy tôi đang tự hỏi nó.

Những cách tốt để ước tính các tham số cho phân phối này là gì?

Thảo luận về MLE là tốt nhưng các nhà ước tính khác có thể đưa ra câu trả lời hiệu quả.

Lưu ý 1: Nhiều tài liệu liên quan đến PERT dường như sử dụng $X_{(1)}$ và $X_{(n)}$ ước tính, ước lượng $a$ và $b$ và sau đó (cho rằng) sử dụng phương pháp của các khoảnh khắc cho $c$ . Nếu bạn ủng hộ cách tiếp cận này một cách cụ thể, một số thảo luận về hiệu quả sẽ hữu ích nhất, nhưng ít nhất một số lý do cho sự lựa chọn (hoặc một lý do tương tự) sẽ rất quan trọng.

Lưu ý 2:

[Có lẽ đây sẽ là khởi đầu của một câu trả lời nhưng tôi sẽ đặt nó ở đây dưới dạng hướng dẫn về các câu trả lời liên quan đến ML cho hiện tại.]

Lưu ý rằng đối với MLE, thiết lập các dẫn xuất của khả năng đăng nhập thành 0 sẽ không hoạt động.

Ví dụ để biết $a$ và $b$ (chúng ta có thể lấy 0,1 bằng cách thay đổi kích thước đơn giản), xem phần thảo luận về MLE để biết $c$ đây: MLE cho phân phối tam giác? .

Ngoài ra, nói chung, ước tính ML cho các điểm cuối $a$ và $b$ không phải là số liệu thống kê cực đoan. Xem, ví dụ ở đây (1)

(1) Kotz, Samuel, và Johan Rene van Dorp (2004),
Các tam giác phân phối, (Chương 1)
gia đình liên tục Ngoài Beta khác của phân phối với Bounded Hỗ trợ và ứng dụng,
thế giới khoa học fi c, NJ
( chương mẫu )

— Glen_b -Reinstate Monica
nguồn

Sử dụng số liệu thống kê cực trị làm công cụ ước tính cho các ranh giới $a,b$ và sau đó sử dụng

E (X) = \frac{a + b + c}{3}

$E(X) = \frac {a+b+c}{3}$

ước tính, ước lượng $c$ bằng phương pháp của những khoảnh khắc rất ... dễ dàng điên cuồng,

\hat{a} = X_{(1)}, \hat{b} = X_{(n)}, \hat{c} = 3 \bar{X} - \hat{a} - \hat{b}

$\hat a = X_{(1)},\;\; \hat b = X_{(n)},\;\;\hat c = 3\bar X - \hat a - \hat b$ nó làm tôi nghĩ làm thế nào tôi có thể bắt đầu bằng cách ước tính

c

$c$ đầu tiên, chỉ cho các twist của nó. Đây là nhưng chưa có bất kỳ thuộc tính của công cụ ước tính. Tôi sẽ làm cho wiki cộng đồng này trong trường hợp bất kỳ ai quan tâm đến việc làm nó hơn nữa.

1) Có được các tứ phân vị theo kinh nghiệm $\hat q_1, \hat q_3$ và hình thành Phạm vi liên vùng $\text{IQR} = \hat q_3 - \hat q_1$

2) Sử dụng quy tắc Friedman-Diaconis để bin dữ liệu.

Kích thước thùng = = 2 \frac{IQR}{n^{1 / 3}}

$\text{Bin size}=2\, { \text{IQR} \over{ {n^{1/3}} }}$

3) Hình thành biểu đồ thực nghiệm và ước tính $\hat c$ là điểm giữa của thùng có tần số thực nghiệm cao nhất.

4) Sau đó giải quyết cho $a,b$ hệ phương trình

q_{1} = = một + \frac{\sqrt{(c - một) (b - một)}}{2}

$q_1 = a + \frac {\sqrt{(c-a)(b-a)}}{2}$

q_{3} = = b + \frac{\sqrt{(b - c) (b - một)}}{2}

$q_3 = b + \frac {\sqrt{(b-c)(b-a)}}{2}$

sử dụng ước tính $\hat q_1, \hat q_3, \hat c$ (các biểu thức CDF ngược mà tôi đã lấy từ chương sách mà OP liên kết đến, trang 8).

— Alecos Papadopoulos
nguồn