Kỳ vọng có điều kiện của một dẫn xuất RV bị cắt ngắn, phân phối gumbel (khác biệt logistic)

Tôi có hai biến ngẫu nhiên được phân phối độc lập và giống hệt nhau, tức là : $\epsilon_{1}, \epsilon_{0} \overset{\text{iid}}{\sim} \text{Gumbel}(\mu,\beta)$

F (ϵ) = \exp (- \exp (- \frac{ϵ - μ}{β})),

$F(\epsilon) = \exp(-\exp(-\frac{\epsilon-\mu}{\beta})),$

f (ϵ) = \frac{1}{β} \exp (- (\frac{ϵ - μ}{β} + \exp (- \frac{ϵ - μ}{β}))) .

$f(\epsilon) = \dfrac{1}{\beta}\exp(-\left(\frac{\epsilon-\mu}{\beta}+\exp(-\frac{\epsilon-\mu}{\beta})\right)).$

Tôi đang cố gắng tính hai đại lượng:

$E_{ϵ_{1}} E_{ϵ_{0} | ϵ_{1}} [c + ϵ_{1} | c + ϵ_{1} > ϵ_{0}]$ $\mathbb{E}_{\epsilon_{1}}\mathbb{E}_{\epsilon_{0}|\epsilon_{1}}\left[c+\epsilon_{1}|c+\epsilon_{1}>\epsilon_{0}\right]$
$E_{ϵ_{1}} E_{ϵ_{0} | ϵ_{1}} [ϵ_{0} | c + ϵ_{1} < ϵ_{0}]$ $\mathbb{E}_{\epsilon_{1}}\mathbb{E}_{\epsilon_{0}|\epsilon_{1}}\left[\epsilon_{0}|c+\epsilon_{1}<\epsilon_{0}\right]$

Tôi đi đến một điểm mà tôi cần thực hiện tích hợp trên một cái gì đó có dạng: , dường như không có tích phân ở dạng đóng. bất cứ ai có thể giúp tôi ra với điều này? Có lẽ tôi đã làm điều gì đó sai. $e^{e^{x}}$

Tôi cảm thấy chắc chắn nên có giải pháp hình thức đóng. (EDIT: Ngay cả khi nó không ở dạng đóng, nhưng sẽ có phần mềm để nhanh chóng đánh giá tích phân [chẳng hạn như Ei (x)], tôi cho rằng điều đó sẽ ổn thôi.

BIÊN TẬP:

Tôi nghĩ với một sự thay đổi của các biến, hãy

y = \exp (- \frac{ϵ_{1} - μ}{β})

$y =\exp(-\frac{\epsilon_{1}-\mu}{\beta})$ và

μ - β \ln y = ϵ_{1}

$\mu-\beta\ln y =\epsilon_{1}$

Điều này ánh xạ tới và . $[0,\;\infty)$ $\left[0,\;\exp(-\frac{\epsilon_{0}-c-\mu}{\beta})\right]$

$|J|=|\dfrac{d\epsilon}{dy}|=\frac{\beta}{y}$ . Sau đó, dưới sự thay đổi của biến, tôi đã đun sôi (1) xuống ...

\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1 - e^{- x}} (\int_{μ - β \ln x - c}^{\infty} [c + μ - β \ln y] e^{- y} d y) e^{- x} d x

$\int_{0}^{\infty}\dfrac{1}{1-e^{-x}}\left(\int_{\mu-\beta\ln x-c}^{\infty}\left[c+\mu-\beta\ln y\right]e^{-y}dy\right)e^{-x}dx$

Có thể có một lỗi đại số nhưng tôi vẫn không thể giải được tích phân này ...

CÂU HỎI LIÊN QUAN: Kỳ vọng tối đa của các biến Gumbel iid

— sói
nguồn

Chắc chắn không có giải pháp dạng đóng. Tại sao bạn cảm thấy phải có?

— Gordon Smyth

@GordonSmyth Làm sao bạn biết không có giải pháp dạng đóng?

— wolfsatthedoor

Do các tham số của phân phối Gumbel lần lượt là vị trí và tỷ lệ, nên vấn đề đơn giản hóa thành tính toán trong đó và được liên kết với , . Mẫu số có sẵn ở dạng kín $(\mu,\beta)$

E [ϵ_{1} | ϵ_{1} + c > ϵ_{0}] = \frac{\int_{- \infty}^{+ \infty} x F (x + c) f (x) d x}{\int_{- \infty}^{+ \infty} F (x + c) f (x) d x}

$\mathbb{E}[\epsilon_1|\epsilon_1+c>\epsilon_0]= \frac{\int_{-\infty}^{+\infty} x F(x+c) f(x) \text{d}x}{\int_{-\infty}^{+\infty} F(x+c) f(x) \text{d}x}$

f

$f$

F

$F$

μ = 0

$\mu=0$

β = 1

$\beta=1$

\begin{aligned} \int_{- \infty}^{+ \infty} F (x + c) f (x) d x & = \int_{- \infty}^{+ \infty} \exp {- \exp [- x - c]} \exp {- x} \exp {- \exp [- x]} d x \\ \overset{a = e^{c}}{=} \int_{- \infty}^{+ \infty} \exp {- (1 + a) \exp [- x]} \exp {- x} d x \\ = \frac{1}{1 + a} {[\exp {- (1 + a) e^{- x}}]}_{- \infty}^{+ \infty} \\ = \frac{1}{1 + a} \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty} F(x+c) f(x) \text{d}x &= \int_{-\infty}^{+\infty} \exp\{-\exp[-x-c]\}\exp\{-x\}\exp\{-\exp[-x]\}\text{d}x\\&\stackrel{a=e^c}{=}\int_{-\infty}^{+\infty} \exp\{-(1+a)\exp[-x]\}\exp\{-x\}\text{d}x\\&=\frac{1}{1+a}\left[ \exp\{-(1+a)e^{-x}\}\right]_{-\infty}^{+\infty}\\ &=\frac{1}{1+a} \end{align*}$ Tử số liên quan đến tích phân hàm mũ kể từ (theo tích hợp WolframAlpha ) started= \ frac {\ gamma + \ log (1 + a)} {1 + a} \ end {align *} Do đó

\begin{aligned} \int_{- \infty}^{+ \infty} x F (x + c) f (x) d x & = \int_{- \infty}^{+ \infty} x \exp {- (1 + a) \exp [- x]} \exp {- x} d x \\ \overset{z = e^{- x}}{=} \int_{0}^{+ \infty} \log (z) \exp {- (1 + a) z} d z \\ = \frac{- 1}{1 + a} {[Ei (- (1 + a) z) - \log (z) e^{- (1 + a) z}]}_{0}^{\infty} \\ = \frac{γ + \log (1 + a)}{1 + a} \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty} x F(x+c) f(x) \text{d}x &= \int_{-\infty}^{+\infty} x \exp\{-(1+a)\exp[-x]\}\exp\{-x\}\text{d}x\\ &\stackrel{z=e^{-x}}{=} \int_{0}^{+\infty} \log(z) \exp\{-(1+a)z\}\text{d}z\\ &= \frac{-1}{1+a}\left[\text{Ei}(-(1+a) z) -\log(z) e^{-(1+a) z}\right]_{0}^{\infty}\\ &= \frac{\gamma+\log(1+a)}{1+a} \end{align*}$

E [ϵ_{1} | ϵ_{1} + c > ϵ_{0}] = γ + \log (1 + e^{- c})

$\mathbb{E}[\epsilon_1|\epsilon_1+c>\epsilon_0]=\gamma+\log(1+e^{-c})$ Kết quả này có thể dễ dàng được kiểm tra bằng cách mô phỏng, vì tạo ra một biến số Gumberl để biến đổi một Đồng nhất (0,1) biến thiên, , như . Monte Carlo và phương tiện lý thuyết đồng ý:

U

$U$

X = - \log {- \log (U)}

$X=-\log\{-\log(U)\}$

— Tây An
nguồn

Bạn có nhận ra epsilon0 là một rv không?

— wolfsatthedoor