Sự khác biệt giữa mô hình xác định và ngẫu nhiên là gì?

Mô hình tuyến tính đơn giản:

nơi ~ iid $x=\alpha t + \epsilon_t$ $\epsilon_t$ $N(0,\sigma^2)$

với và $E(x) = \alpha t$ $Var(x)=\sigma^2$

AR (1):

nơi ~ iid $X_t =\alpha X_{t-1} + \epsilon_t$ $\epsilon_t$ $N(0,\sigma^2)$

với và $E(x) = \alpha t$ $Var(x)=t\sigma^2$

Vì vậy, một mô hình tuyến tính đơn giản được coi là một mô hình xác định trong khi mô hình AR (1) được coi là mô hình stocahstic.

Theo một video Youtube của Ben Lambert - Xác định so với Stochastic , lý do AR (1) được gọi là mô hình ngẫu nhiên là do phương sai của nó tăng theo thời gian. Vì vậy, tính năng của phương sai không liên tục là tiêu chí để xác định ngẫu nhiên hay xác định?

Tôi cũng không nghĩ rằng mô hình tuyến tính đơn giản là hoàn toàn xác định như chúng ta có một hạn kết hợp với mô hình. Do đó, chúng ta luôn có một sự ngẫu nhiên trong . Vì vậy, ở mức độ nào chúng ta có thể nói một mô hình là xác định hoặc ngẫu nhiên? $\epsilon_t$ $x$

— Ken T
nguồn

Bất kỳ mô hình nào có một thuật ngữ lỗi là ngẫu nhiên. Nó không có gì để làm với phương sai phải thay đổi theo thời gian.

— Michael R. Chernick

@MichaelCécick Tôi không hiểu. Vậy thì tại sao mọi người lại nói hồi quy tuyến tính đơn giản là một mô hình xác định?

— Ken T

Bạn có thể cung cấp một liên kết để hiển thị nơi này được nói và tại sao nó được nói.?

— Michael R. Chernick

Đó là từ ghi chú khóa học của tôi về phân tích chuỗi thời gian một vài năm trước đây. Có lẽ nó sai.

— Ken T

Câu trả lời:

Video nói về xu hướng xác định so với ngẫu nhiên , không phải mô hình . Điểm nổi bật là rất quan trọng. Cả hai mô hình của bạn đều ngẫu nhiên, tuy nhiên, trong mô hình 1, xu hướng mang tính quyết định.

Mô hình 2 không có xu hướng. Văn bản câu hỏi của bạn không chính xác.

Mô hình 2 trong câu hỏi của bạn là AR (1) không có hằng số, trong khi trong video, mô hình là bước đi ngẫu nhiên (Chuyển động Brown): Mô hình này thực sự có xu hướng ngẫu nhiên. Đó là ngẫu nhiên vì nó là chỉ ở mức trung bình. Mỗi lần thực hiện chuyển động Brown sẽ lệch khỏi vì thuật ngữ ngẫu nhiên , dễ thấy bởi sự khác biệt:

x_{t} = α + x_{t - 1} + e_{t}

$x_t=\alpha+x_{t-1}+e_t$

α t

$\alpha t$

α t

$\alpha t$

e_{t}

$e_t$

Δ x_{t} = x_{t} - x_{t - 1} = α + e_{t}

$\Delta x_t=x_t-x_{t-1}=\alpha+e_t$

x_{t} = x_{0} + \sum_{t = 1}^{t} Δ x_{t} = x_{0} + α t + \sum_{t = 1}^{t} e_{t}

$x_t=x_0+\sum_{t=1}^t\Delta x_t=x_0+\alpha t +\sum_{t=1}^t e_t$

— Aksakal
nguồn

+1. Tuy nhiên, để được hoàn toàn rõ ràng và chính xác, bạn có thể muốn chỉ ra rằng độ lệch từ

là do sự ngẫu nhiên hạn

, không chỉ

α t

$\alpha t$

e_{1} + e_{2} + \dots + e_{t}

$e_1+e_2+\dots +e_t$

e_{t}

$e_t$

— whuber

Như Aksakal đã đề cập trong câu trả lời của mình, video Ken T được liên kết mô tả các thuộc tính của xu hướng , không phải của các mô hình trực tiếp, có lẽ là một phần của việc giảng dạy về chủ đề liên quan của xu hướng và sự khác biệt trong kinh tế lượng. Vì trong câu hỏi của bạn, bạn đã hỏi về các mô hình, đây là bối cảnh của các mô hình :

Một mô hình hoặc quá trình là ngẫu nhiên nếu nó có tính ngẫu nhiên. Ví dụ: nếu được cung cấp cùng một đầu vào (biến độc lập, trọng số / tham số, siêu đường kính, v.v.), mô hình có thể tạo ra các đầu ra khác nhau. Trong các mô hình xác định, đầu ra được chỉ định đầy đủ bởi các đầu vào cho mô hình (các biến độc lập, trọng số / tham số, siêu âm, v.v.), sao cho cùng một đầu vào cho mô hình, các đầu ra giống hệt nhau. Nguồn gốc của thuật ngữ "stochastic" xuất phát từ các quá trình ngẫu nhiên . Theo nguyên tắc chung, nếu một mô hình có một biến ngẫu nhiên, thì đó là ngẫu nhiên. Các mô hình ngẫu nhiên thậm chí có thể là các biến ngẫu nhiên độc lập đơn giản.

Chúng ta hãy giải nén một số thuật ngữ sẽ giúp bạn hiểu các tài liệu xung quanh các mô hình thống kê (xác định, ngẫu nhiên, hay nói cách khác ...):

$AR(1)$ $t-1$ $\mu_{\epsilon_t}=0$ ), v.v. Chúng tôi thực hiện các giả định này để làm cho mô hình tuyến tính trở nên hữu ích để ước tính (các) biến phụ thuộc bằng cách giảm thiểu một số định mức của thuật ngữ lỗi đó. Các giả định này cho phép chúng tôi rút ra các thuộc tính hữu ích của các công cụ ước tính và chứng minh rằng các công cụ ước tính nhất định là tốt nhất theo các giả định đó; ví dụ: công cụ ước tính OLS là BLUE .

Một ví dụ đơn giản hơn về mô hình ngẫu nhiên là lật một đồng xu công bằng (đầu hoặc đuôi), có thể được mô hình hóa một cách ngẫu nhiên như một biến ngẫu nhiên nhị phân phân phối đồng đều iid, hoặc một quá trình Bernoulli . Bạn cũng có thể coi đồng xu lật như một hệ thống vật lý và đưa ra một mô hình xác định (trong một thiết lập lý tưởng hóa) nếu bạn tính đến hình dạng của đồng xu, góc và lực tác động, khoảng cách đến bề mặt, v.v. Nếu mô hình sau (vật lý) của lật đồng xu không có biến ngẫu nhiên trong đó (ví dụ: nó không xem xét lỗi đo lường của bất kỳ đầu vào nào của mô hình), sau đó nó có tính xác định.

$X_t$ $AR(1)$ $\epsilon_t$ $y_t = ax_t+\epsilon_t$ $t$ $Var[X_t]$ $t$ $Var[X_t]$

Hơn nữa, đôi khi có sự nhầm lẫn giữa các quá trình ngẫu nhiên đứng yên và các quá trình ngẫu nhiên không cố định. Stationarity ngụ ý rằng các số liệu thống kê như giá trị trung bình hoặc phương sai không thay đổi theo thời gian trong mô hình. Cả hai vẫn được coi là mô hình / quy trình ngẫu nhiên miễn là có sự ngẫu nhiên liên quan. Như đồng nghiệp Maroon, Matthew Gunn, đã đề cập đến câu trả lời của mình, sự phân rã của Wold nói rằng bất kỳ quá trình ngẫu nhiên đứng yên nào cũng có thể được viết là tổng của một quá trình xác định và ngẫu nhiên.

— tôi làm
nguồn

Câu trả lời chính xác! Một câu hỏi: tại sao bạn viết "Thay đổi phương sai của nó trên một số tham số" không nên thay đổi trên một số biến (hoặc chức năng của một biến)?

— Alexis

@Alexis Tôi đã đề cập đến thời gian như là một tham số của mô hình. Bạn nói đúng, ngôn ngữ đó không chính xác. Đã sửa. Cảm ơn bạn. :-)

— ido

Phương sai của AR (1) thay đổi như thế nào?

— Aksakal

V a r [ε_{t}]

$Var[\varepsilon_t]$

σ^{2}

$\sigma^2$

V a r [X_{t}] = t σ^{2}

$Var[X_t] = t\sigma^2$

X_{t} = α + X_{t - 1} + ε_{t}

$X_t = \alpha + X_{t-1} + \varepsilon_t$

ε_{t} \sim N (0, σ^{2})

$\varepsilon_t \sim N(0, \sigma^2)$

A R (1)

$AR(1)$ đề cập đến mô hình được mô tả như vậy bởi Ken T.)

— ido

V a r [X_{t}] = V a r [X_{t - 1}] + V a r [ε_{t}] = \sum_{i = 1}^{t} V a r [ε_{i}] = t σ^{2}

$Var[X_t] = Var[X_{t-1}] + Var[\varepsilon_t] = \sum_{i=1}^{t} Var[\varepsilon_i] = t\sigma^2$

V a r [ε_{i}] = σ^{2}

$Var[\varepsilon_i] = \sigma^2$

ε_{t}

$\varepsilon_t$

ε_{t}

$\varepsilon_t$

C o v [X_{t}, X_{t - 1}] = 0

$Cov[X_t, X_{t-1}] = 0$

Một số định nghĩa không chính thức

- $y(t) = 2t$
- $y(t) = e^t$
$\{Y_t\}$ $\Omega$ $Y(t,\omega)$ $t$ $\omega$ $\Omega$
- $y_t = \epsilon_t$ $\epsilon_t \sim \mathcal{N}(0, 1)$
- $y_t = .7 y_{t-1} + \epsilon_t$
$\omega$ $\Omega$ $\omega \in \Omega$ $Y_t(\omega)$

Một vài bình luận...

... lý do AR (1) được gọi là mô hình ngẫu nhiên là do phương sai của nó tăng theo thời gian.

$t$

$\epsilon_t$

$x_t$ $x_t = \alpha t + \epsilon_t$ $\{\epsilon_t\}$ $\{x_t\}$

$y_t = \alpha t$ $\{x_t\}$ $\alpha t$ $\epsilon_t$

Điều này dẫn đến Định lý của Wold rằng bất kỳ quá trình đứng yên hiệp phương sai nào cũng có thể được phân tách duy nhất thành một thành phần xác định và một thành phần ngẫu nhiên.

— Matthew Gunn
nguồn