Tìm UMVUE của

Đặt là iid các biến ngẫu nhiên có pdf $X_1, X_2, . . . , X_n$

$f_{X} (x ∣ θ) = θ (1 + x)^{- (1 + θ)} I_{(0, \infty)} (x)$ $f_X(x\mid\theta) =\theta(1 +x)^{−(1+\theta)}I_{(0,\infty)}(x)$

trong đó . Đưa UMVUE của và tính toán phương sai của nó $\theta >0$ $\frac{1}{\theta}$

Tôi đã tìm hiểu về hai phương pháp như vậy để thu được UMVUE:

Giới hạn Cramer-Rao (CRLB)
Lehmann-Scheffe Có

Tôi sẽ cố gắng điều này bằng cách sử dụng trước đây của hai. Tôi phải thừa nhận rằng tôi không hoàn toàn hiểu những gì đang xảy ra ở đây và tôi dựa trên giải pháp đã cố gắng của mình về một vấn đề mẫu. Tôi có là một họ hàm mũ một tham số đầy đủ với $f_X(x\mid\theta)$

$h(x)=I_{(0,\infty)}$ , , , $c(\theta)=\theta$ $w(\theta)=-(1+\theta)$ $t(x)=\text{log}(1+x)$

Vì không khác biệt trên , nên kết quả CRLB được áp dụng. Chúng ta có $w'(\theta)=1$ $\Theta$

log f_{X} (x ∣ θ) = log (θ) - (1 + θ) \cdot log (1 + x)

$\text{log }f_X(x\mid\theta)=\text{log}(\theta)-(1+\theta)\cdot\text{log}(1+x)$

\frac{\partial}{\partial θ} log f_{X} (x ∣ θ) = \frac{1}{θ} - log (1 + x)

$\frac{\partial}{\partial \theta}\text{log }f_X(x\mid\theta)=\frac{1}{\theta}-\text{log}(1+x)$

\frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}} log f_{X} (x ∣ θ) = - \frac{1}{θ^{2}}

$\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}\text{log }f_X(x\mid\theta)=-\frac{1}{\theta^2}$

vì vậy

I_{1} (θ) = - E (- \frac{1}{θ^{2}}) = \frac{1}{θ^{2}}

$I_1(\theta)=-\mathsf E\left(-\frac{1}{\theta^2}\right)=\frac{1}{\theta^2}$

và CRLB cho các công cụ ước tính không thiên vị của là $\tau(\theta)$

\frac{[τ^{'} (θ)]^{2}}{n \cdot I_{1} (θ)} = \frac{θ^{2}}{n} [τ^{'} (θ)]^{2}

$\frac{[\tau'(\theta)]^2}{n\cdot I _1(\theta)} = \frac{\theta^2}{n}[\tau'(\theta)]^2$

Vì

\sum_{i = 1}^{n} t (X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} log (1 + X_{i})

$\sum_{i=1}^n t(X_i)=\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i)$

sau đó, bất kỳ hàm tuyến tính nào của hoặc tương đương, bất kỳ hàm tuyến tính nào của , sẽ đạt được CRLB của kỳ vọng của nó và do đó là UMVUE của kỳ vọng của nó. Vì chúng tôi có UMVUE của là $\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i)$ $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i)$ $\mathsf E(\text{log}(1+X))=\frac{1}{\theta}$ $\frac{1}{\theta}$ $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i)$

Để tham số hóa tự nhiên, chúng ta có thể để $\eta=-(1+\theta)\Rightarrow \theta=-(\eta+1)$

Sau đó

V a r (log (1 + X)) = \frac{d}{d η} (- \frac{1}{η + 1}) = \frac{1}{(η + 1)^{2}} = \frac{1}{θ^{2}}

$\mathsf{Var}(\text{log}(1+X))=\frac{d}{d\eta}\left(-\frac{1}{\eta+1}\right)=\frac{1}{(\eta+1)^2}=\frac{1}{\theta^2}$

Đây có phải là một giải pháp hợp lệ? Có một cách tiếp cận đơn giản hơn? Phương thức này chỉ hoạt động khi bằng với những gì bạn đang cố ước tính? $\mathsf E(t(x))$

— Rémy
nguồn

Tại thời điểm bạn chỉ ra rằng pdf là thành viên của họ hàm mũ một tham số, ngay lập tức rõ ràng rằng một thống kê đầy đủ cho gia đình là Vì, như bạn nói, , là UMVUE của theo định lý Lehmann-Scheffe.

T (X_{1}, \dots, X_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + X_{i})

$T(X_1,\ldots,X_n)=\sum_{i=1}^n\ln(1+X_i)$

E (T / n) = \frac{1}{θ}

$E(T/n)=\frac{1}{\theta}$

T / n

$T/n$

1 / θ

$1/\theta$

— StubbornAtom

Vì vậy, phần mà tôi có "Vì là khác không ..... " có liên quan không?

w^{'} (θ) = 1

$w'(\theta)=1$

\frac{θ^{2}}{n} [τ^{'} (θ)]^{2}

$\frac{\theta^2}{n}[\tau'(\theta)]^2$

— Rémy

Không thực sự; phương sai của dễ dàng tìm thấy hơn bằng CRLB. Vì vậy, để giải quyết cả hai câu hỏi cùng một lúc, lập luận của bạn là đủ.

T

$T$

— StubbornAtom

Để tìm phương sai theo cách đó, tôi sẽ lấy ? Do đó, tôi đã làm nó không chính xác trước đây?

\frac{θ^{2}}{n} [τ^{'} (θ)]^{2} = \frac{θ^{2}}{n} {(- \frac{1}{θ^{2}})}^{2} = \frac{1}{n θ^{2}}

$\frac{\theta^2}{n}[\tau'(\theta)]^2=\frac{\theta^2}{n}\left(-\frac{1}{\theta^2}\right)^2=\frac{1}{n\theta^2}$

— Rémy

Vâng, đó là sự thay đổi của . Đúng.

T

$T$

— StubbornAtom

Lý luận của bạn chủ yếu là chính xác.

Mật độ chung của mẫu là $(X_1,X_2,\ldots,X_n)$

\begin{aligned} f_{θ} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) & = \frac{θ^{n}}{{(\prod_{i = 1}^{n} (1 + x_{i}))}^{1 + θ}} 1_{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} > 0}, θ > 0 \\ ⟹ \ln f_{θ} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) & = n \ln (θ) - (1 + θ) \sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + x_{i}) + \ln (1_{min_{1 \leq i \leq n} x_{i} > 0}) \\ ⟹ \frac{\partial}{\partial θ} \ln f_{θ} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) & = \frac{n}{θ} - \sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + x_{i}) \\ = - n (\frac{\sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + x_{i})}{n} - \frac{1}{θ}) \end{aligned}

$\begin{align} f_{\theta}(x_1,x_2,\ldots,x_n)&=\frac{\theta^n}{\left(\prod_{i=1}^n (1+x_i)\right)^{1+\theta}}\mathbf1_{x_1,x_2,\ldots,x_n>0}\qquad,\,\theta>0 \\\\\implies \ln f_{\theta}(x_1,x_2,\ldots,x_n)&=n\ln(\theta)-(1+\theta)\sum_{i=1}^n\ln(1+x_i)+\ln(\mathbf1_{\min_{1\le i\le n} x_i>0}) \\\\\implies\frac{\partial}{\partial \theta}\ln f_{\theta}(x_1,x_2,\ldots,x_n)&=\frac{n}{\theta}-\sum_{i=1}^n\ln(1+x_i) \\\\&=-n\left(\frac{\sum_{i=1}^n\ln(1+x_i)}{n}-\frac{1}{\theta}\right) \end{align}$

Vì vậy, chúng tôi đã thể hiện chức năng điểm số trong mẫu

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial}{\partial θ} \ln f_{θ} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = k (θ) (T (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) - \frac{1}{θ}) \end{matrix}

$\frac{\partial}{\partial \theta}\ln f_{\theta}(x_1,x_2,\ldots,x_n)=k(\theta)\left(T(x_1,x_2,\ldots,x_n)-\frac{1}{\theta}\right)\tag{1}$

, đó là điều kiện bình đẳng trong bất đẳng thức Cramér-Rao.

Không khó để xác minh rằng

\begin{matrix} (2) & E (T) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \underset{= 1 / θ}{\underset{⏟}{E (\ln (1 + X_{i}))}} = \frac{1}{θ} \end{matrix}

$E(T)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\underbrace{E(\ln(1+X_i))}_{=1/\theta}=\frac{1}{\theta}\tag{2}$

Từ và chúng ta có thể kết luận rằng $(1)$ $(2)$

Thống kê là một công cụ ước tính không thiên vị của . $T(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ $1/\theta$
$T$ thỏa mãn điều kiện bình đẳng của bất đẳng thức Cramér-Rao.

Hai sự thật này cùng ngụ ý rằng là UMVUE của . $T$ $1/\theta$

Viên đạn thứ hai thực sự cho chúng ta biết rằng phương sai của đạt được giới hạn dưới của Cramér-Rao trong . $T$ $1/\theta$

Thật vậy, như bạn đã chỉ ra,

E_{θ} [\frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}} \ln f_{θ} (X_{1})] = - \frac{1}{θ^{2}}

$E_{\theta}\left[\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}\ln f_{\theta}(X_1)\right]=-\frac{1}{\theta^2}$

Điều này ngụ ý rằng hàm thông tin cho toàn bộ mẫu là

I (θ) = - n E_{θ} [\frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}} \ln f_{θ} (X_{1})] = \frac{n}{θ^{2}}

$I(\theta)=-nE_{\theta}\left[\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}\ln f_{\theta}(X_1)\right]=\frac{n}{\theta^2}$

Vì vậy, Cramér-Rao giới hạn dưới cho và do đó phương sai của UMVUE là $1/\theta$

Var (T) = \frac{{[\frac{d}{d θ} (\frac{1}{θ})]}^{2}}{I (θ)} = \frac{1}{n θ^{2}}

$\operatorname{Var}(T)=\frac{\left[\frac{d}{d\theta}\left(\frac{1}{\theta}\right)\right]^2}{I(\theta)}=\frac{1}{n\theta^2}$

Ở đây chúng ta đã khai thác một hệ quả của bất đẳng thức Cramer-Rao, mà nói rằng đối với một gia đình bản phân phối parametrised bởi (giả sử điều kiện đều đặn của CR bất bình đẳng để giữ), nếu một thống kê là không thiên vị cho cho một số hàm và nếu nó thỏa mãn điều kiện đẳng thức trong bất đẳng thức CR, cụ thể là , thì phải là UMVUE của . Vì vậy, đối số này không hoạt động trong mọi vấn đề. $f$ $\theta$ $T$ $g(\theta)$ $g$

\frac{\partial}{\partial θ} \ln f_{θ} (x) = k (θ) (T (x) - g (θ))

$\frac{\partial}{\partial\theta}\ln f_{\theta}(x)=k(\theta)\left(T(x)-g(\theta)\right)$

T

$T$

g (θ)

$g(\theta)$

Ngoài ra, sử dụng định lý Lehmann-Scheffe, bạn có thể nói rằng là UMVUE của vì nó không thiên vị cho và là một thống kê đầy đủ cho gia đình phân phối. Đó là cạnh tranh đầy đủ rõ ràng từ cấu trúc của mật độ chung của mẫu trong điều khoản của một gia đình mũ một tham số. Nhưng phương sai của có thể hơi khó tìm trực tiếp. $T=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \ln(1+X_i)$ $1/\theta$ $1/\theta$ $T$ $T$

— Bướng bỉnh
nguồn

Người ta cũng có thể sử dụng phân phối của để tìm giá trị trung bình, phương sai của nó.

T

$T$

— StubbornAtom