Kỳ vọng có điều kiện của thống kê biến ngẫu nhiên thống nhất cho thống kê đơn hàng

Giả sử X = ~ , trong đó .$(X_1, ..., X_n)$$U(\theta, 2\theta)$$\theta \in \Bbb{R}^+$

Làm thế nào để tính toán kỳ vọng có điều kiện của , trong đó và lần lượt là thống kê đơn hàng nhỏ nhất và lớn nhất?$E[X_1|X_{(1)},X_{(n)}]$$X_{(1)}$$X_{(n)}$

Suy nghĩ đầu tiên của tôi là vì số liệu thống kê đơn hàng giới hạn phạm vi, nó chỉ đơn giản là , nhưng tôi không chắc liệu điều này có đúng không!$(X_{(1)}+X_{(n)})/2$

Hãy xem xét trường hợp của mẫu iid từ bản phân phối Đồng nhất . Thu nhỏ các biến này bằng cách và dịch chúng bằng chúng với phân phối Đồng nhất . Mọi thứ liên quan đến vấn đề này đều thay đổi theo cùng một cách: thống kê đơn hàng và các kỳ vọng có điều kiện. Do đó, câu trả lời thu được trong trường hợp đặc biệt này sẽ được giữ chung.$X_1, X_2, \ldots, X_n$$(0,1)$$\theta$$\theta$$(\theta, 2\theta)$

Đặt Bằng cách mô phỏng lý luận tại https://stats.stackexchange.com/a/225990/919 (hoặc ở nơi khác), thấy rằng phân phối chung của có hàm mật độ$1\lt k\lt n.$$(X_{(1)}, X_{(k)}, X_{(n)})$

$$f_{k;n}(x,y,z) = \mathcal{I}(0\le x\le y\le z \le 1) (y-x)^{k-2}(z-y)^{n-k-1}.$$

Sửa và xem đây là một hàm của điều này có thể nhận ra dưới dạng phân phối Beta đã được thu nhỏ và dịch thành khoảng Do đó, hệ số tỷ lệ phải là và bản dịch mất đến$(x,z)$$y,$$(k-1, n-k)$$[x,z].$$z-x$$0$$x.$

Vì kỳ vọng phân phối Beta$(k-1,n-k)$ là chúng tôi thấy rằng kỳ vọng có điều kiện của phải là kỳ vọng được dịch theo tỷ lệ; cụ thể là$(k-1)/(n-1),$$X_{(k)}$

$$\mathbb{E}\left(X_{(k)}\mid X_{(1)}, X_{(n)}\right) = X_{(1)} + \left(X_{(n)}-X_{(1)}\right) \frac{k-1}{n-1}.$$

Các trường hợp và là tầm thường: kỳ vọng có điều kiện của chúng lần lượt là và$k=1$$k=n$$X_{(1)}$$X_{(k)}.$

Hãy tìm kỳ vọng về tổng của tất cả các thống kê đơn hàng:

$$\mathbb{E}\left(\sum_{k=1}^n X_{(k)}\right) = X_{(1)} + \sum_{k=2}^{n-1} \left(X_{(1)} + \left(X_{(n)}-X_{(1)}\right) \frac{k-1}{n-1}\right) + X_{(n)}.$$

Đại số đi xuống để lấy tổng

$$\sum_{k=2}^{n-1}(k-1) = (n-1)(n-2)/2.$$

Như vậy

$$\eqalign{ \mathbb{E}\left(\sum_{k=1}^n X_{(k)}\right) &= (n-1)X_{(1)} + \left(X_{(n)}-X_{(1)}\right) \frac{(n-1)(n-2)}{2(n-1)} + X_{(n)} \\ &= \frac{n}{2}\left(X_{(n)}+X_{(1)}\right). }$$

Cuối cùng, vì được phân phối giống hệt nhau, tất cả chúng đều có cùng kỳ vọng, từ đó$X_i$

$$\eqalign{n\mathbb{E}\left(X_1\mid X_{(1)}, X_{(n)}\right) &= \mathbb{E}\left(X_1\right) + \mathbb{E}\left(X_2\right) + \cdots + \mathbb{E}\left(X_n\right)\\ &= \mathbb{E}\left(X_{(1)}\right) + \mathbb{E}\left(X_{(2)}\right) + \cdots + \mathbb{E}\left(X_{(n)}\right) \\ &= \frac{n}{2}\left(X_{(n)}+X_{(1)}\right), }$$

với giải pháp độc đáo

$$\mathbb{E}\left(X_1\mid X_{(1)}, X_{(n)}\right) = \left(X_{(n)}+X_{(1)}\right)/2.$$

---

Có vẻ đáng lưu ý rằng kết quả này không phải là hậu quả duy nhất của tính đối xứng của phân phối thống nhất: nó đặc biệt đối với họ phân phối thống nhất. Đối với một số trực giác, hãy xem xét dữ liệu được rút ra từ phân phối Beta với Xác suất của phân phối này được tập trung gần và (mật độ của nó có hình chữ U hoặc "bồn tắm"). Khi chúng ta có thể chắc chắn rằng hầu hết dữ liệu được xếp chồng lên gần và do đó sẽ có xu hướng có kỳ vọng nhỏ hơn điểm giữavà khi$(a,a)$$a \lt 1.$$0$$1$$X_{(n)}\lt 1/2,$$X_{(1)}$$(X_{(1)}+X_{(n)})/2;$$X_{(1)}\gt 1/2,$điều ngược lại xảy ra và hầu hết các dữ liệu có khả năng được xếp chồng lên gần$X_{(n)}.$

Dưới đây không phải là bằng chứng mà là xác minh kết quả mong muốn khi bạn biết rằng là một thống kê đầy đủ cho :$(X_{(1)},X_{(n)})$$\theta$

Pdf chung của là$X_1,X_2,\ldots,X_n$

$$\begin{align} f_{\theta}(x_1,\ldots,x_n)&=\frac{1}{\theta^n}\mathbf1_{\theta<x_{(1)},x_{(n)}<2\theta} \\&=\frac{1}{\theta^n}\mathbf1_{\frac{1}{2}x_{(n)}<\theta<x_{(1)}}\quad,\,\theta\in\mathbb R^+ \end{align}$$

Vậy là một thống kê đủ cho . Có thể chỉ ra rằng cũng là một thống kê hoàn chỉnh bằng cách tiến hành dọc theo các dòng này .$T=(X_{(1)},X_{(n)})$$\theta$$T$

Sau đó, theo định lý của Lehmann-Scheffe , là UMVUE của .$E\,[X_1\mid T]$$E(X_1)=\frac{3\theta}{2}$

Bây giờ, , sao cho và .$\frac{1}{\theta}(X_i-\theta)\stackrel{\text{i.i.d}}\sim \mathsf U(0,1)$$\frac{1}{\theta}(X_{(n)}-\theta)\sim\mathsf{Beta}(n,1)$$\frac{1}{\theta}(X_{(1)}-\theta)\sim \mathsf{Beta}(1,n)$

Do đó, và .$E(X_{(n)})=\frac{n\theta}{n+1}+\theta=\frac{(2n+1)\theta}{n+1}$$E(X_{(1)})=\frac{\theta}{n+1}+\theta=\frac{(n+2)\theta}{n+1}$

Vì thế,

$$E\left[\frac{1}{2}(X_{(1)}+X_{(n)})\right]=\frac{1}{2(n+1)}\left((n+2)\theta+(2n+1)\theta\right)=\frac{3\theta}{2}$$

Điều này chứng tỏ rằng là UMVUE của bởi Lehmann-Scheffe.$\frac{1}{2}(X_{(1)}+X_{(n)})$$\frac{3\theta}{2}$

Vì UMVUE là duy nhất bất cứ khi nào nó tồn tại, nó xác minh xác nhận rằng .$E\,[X_1\mid T]=\frac{1}{2}(X_{(1)}+X_{(n)})$