Liên kết giữa chức năng tạo mô men và chức năng đặc trưng

Tôi đang cố gắng để hiểu liên kết giữa chức năng tạo khoảnh khắc và chức năng đặc trưng. Hàm tạo mô men được xác định là:

M_{X} (t) = E (\exp (t X)) = 1 + \frac{t E (X)}{1} + \frac{t^{2} E (X^{2})}{2!} + \dots + \frac{t^{n} E (X^{n})}{n!}

$M_X(t) = E(\exp(tX)) = 1 + \frac{t E(X)}{1} + \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \dots + \frac{t^n E(X^n)}{n!}$

Sử dụng việc mở rộng hàng loạt các , Tôi có thể tìm thấy tất cả các khoảnh khắc của phân phối cho biến ngẫu nhiên X. $\exp(tX) = \sum_0^{\infty} \frac{(t)^n \cdot X^n}{n!}$

Các chức năng đặc trưng được định nghĩa là:

φ_{X} (t) = E (\exp (i t X)) = 1 + \frac{i t E (X)}{1} - \frac{t^{2} E (X^{2})}{2!} + \dots + \frac{(i t)^{n} E (X^{n})}{n!}

$\varphi_X(t) = E(\exp(itX)) = 1 + \frac{it E(X)}{1} - \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \ldots + \frac{(it)^n E(X^n)}{n!}$

Tôi không hiểu đầy đủ những thông tin mà số tưởng tượng cung cấp cho tôi nhiều hơn. Tôi thấy rằng và do đó chúng ta không chỉ có trong hàm đặc trưng, nhưng tại sao chúng ta cần phải trừ các khoảnh khắc trong hàm đặc trưng? Ý tưởng toán học là gì? $i$ $i^2 = -1$ $+$

— Giuseppe
nguồn

Một điểm quan trọng là chức năng tạo khoảnh khắc không phải lúc nào cũng hữu hạn! (Xem câu hỏi này chẳng hạn.) Nếu bạn muốn xây dựng một lý thuyết chung, giả sử, về sự hội tụ trong phân phối, bạn muốn có thể làm cho nó hoạt động với càng nhiều đối tượng càng tốt. Tất nhiên, hàm đặc trưng là hữu hạn cho bất kỳ biến ngẫu nhiên nào vì

| \exp (i t X) | \leq 1

$|\exp(itX)| \leq 1$

— Đức hồng y

Sự tương đồng trong bản mở rộng Taylor vẫn cho phép người ta đọc được những khoảnh khắc, khi chúng tồn tại, nhưng lưu ý rằng không phải tất cả các bản phân phối đều có khoảnh khắc, vì vậy sự quan tâm đến các chức năng này vượt xa điều này! :)

— Đức hồng y

Một điểm khác cần lưu ý là MGF là phép biến đổi Laplace của một biến ngẫu nhiên và CF là biến đổi Fourier. Có những mối quan hệ cơ bản giữa các biến đổi tích phân này, xem ở đây .

— tchakravarty

Tôi nghĩ CF là biến đổi phạm vi nghịch đảo (và không phải là biến đổi phạm vi) của phân phối khả năng di chuyển?

— Giuseppe

Sự phân biệt chỉ là một vấn đề dấu hiệu trong số mũ, và có thể là một hằng số nhân.

— Glen_b -Reinstate Monica

Như đã đề cập trong các ý kiến, các hàm đặc trưng luôn tồn tại, bởi vì chúng yêu cầu tích hợp một hàm của mô đun . Tuy nhiên, chức năng tạo khoảnh khắc không cần tồn tại bởi vì đặc biệt nó đòi hỏi sự tồn tại của các khoảnh khắc theo bất kỳ trật tự nào. $1$

Khi chúng ta biết rằng có thể tích hợp cho tất cả , chúng ta có thể định nghĩa cho mỗi số phức . Sau đó, chúng tôi nhận thấy rằng và . $E[e^{tX}]$ $t$ $g(z):=E[e^{zX}]$ $z$ $M_X(t)=g(t)$ $\varphi_X(t)=g(it)$

— Davide Giraudo
nguồn