Lắp phân phối t trong R: tham số tỷ lệ

Làm cách nào để tôi khớp với các tham số của phân phối t, tức là các tham số tương ứng với 'trung bình' và 'độ lệch chuẩn' của phân phối bình thường. Tôi cho rằng chúng được gọi là "trung bình" và "chia tỷ lệ / bậc tự do" cho phân phối t?

Đoạn mã sau thường dẫn đến lỗi 'tối ưu hóa thất bại'.

library(MASS)
fitdistr(x, "t")

Tôi có phải chia tỷ lệ x trước hoặc chuyển đổi thành xác suất không? Làm thế nào tốt nhất để làm điều đó?

fitdistrsử dụng các kỹ thuật tối ưu hóa và khả năng tối đa để tìm các tham số của một phân phối nhất định. Đôi khi, đặc biệt đối với phân phối t, như @ user12719 nhận thấy, việc tối ưu hóa ở dạng:

fitdistr(x, "t")

thất bại với một lỗi.

Trong trường hợp này, bạn nên giúp tối ưu hóa bằng cách cung cấp điểm bắt đầu và giới hạn dưới để bắt đầu tìm kiếm các tham số tối ưu:

fitdistr(x, "t", start = list(m=mean(x),s=sd(x), df=3), lower=c(-1, 0.001,1))

Lưu ý, df=3là dự đoán tốt nhất của bạn về những gì "tối ưu"df có thể. Sau khi cung cấp thông tin bổ sung này, lỗi của bạn sẽ biến mất.

Một vài trích đoạn để giúp bạn hiểu rõ hơn về cơ chế bên trong của fitdistr:

Đối với các bản phân phối Bình thường, log-Bình thường, hình học, hàm mũ và Poisson, các MLE dạng đóng (và các lỗi tiêu chuẩn chính xác) được sử dụng và startkhông được cung cấp.

...

Đối với các phân phối được đặt tên sau đây, các giá trị bắt đầu hợp lý sẽ được tính nếu startbị bỏ qua hoặc chỉ được chỉ định một phần: "cauchy", "gamma", "logistic", "nhị thức âm" (tham số theo mu và kích thước), "t" và "weibull ". Lưu ý rằng các giá trị khởi đầu này có thể không đủ tốt nếu độ phù hợp kém: đặc biệt là chúng không có khả năng chống lại các ngoại lệ trừ khi phân phối được trang bị có đuôi dài.

$\nu$$t$

$\nu$$t$

set.seed(1234)
n <- 10
x <- rt(n,  df=2.5)

make_loglik  <-  function(x)
    Vectorize( function(nu) sum(dt(x, df=nu,  log=TRUE)) )

loglik  <-  make_loglik(x)
plot(loglik,  from=1,  to=100,  main="loglikelihood function for df     parameter", xlab="degrees of freedom")
abline(v=2.5,  col="red2")

$n$

Hãy để chúng tôi thử một số mô phỏng:

t_nu_mle  <-  function(x) {
    loglik  <-  make_loglik(x)
    res  <-  optimize(loglik, interval=c(0.01, 200), maximum=TRUE)$maximum
    res   
}

nus  <-  replicate(1000, {x <- rt(10, df=2.5)
    t_nu_mle(x) }, simplify=TRUE)

> mean(nus)
[1] 45.20767
> sd(nus)
[1] 78.77813

Hiển thị ước tính là rất không ổn định (nhìn vào biểu đồ, một phần khá lớn của các giá trị ước tính nằm ở giới hạn trên được đưa ra để tối ưu hóa 200).

Lặp lại với kích thước mẫu lớn hơn:

nus  <-  replicate(1000, {x <- rt(50, df=2.5)
    t_nu_mle(x) }, simplify=TRUE)
> mean(nus)
[1] 4.342724
> sd(nus)
[1] 14.40137

cái này tốt hơn nhiều, nhưng giá trị trung bình vẫn cao hơn giá trị thật 2,5.

Sau đó, hãy nhớ rằng đây là một phiên bản đơn giản hóa của vấn đề thực sự trong đó các tham số vị trí và tỷ lệ cũng phải được ước tính.

$t$$\nu$

Trong phần trợ giúp cho fitdistr là ví dụ này:

fitdistr(x2, "t", df = 9)

chỉ ra rằng bạn chỉ cần một giá trị cho df. Nhưng điều đó giả định tiêu chuẩn hóa.

Để kiểm soát nhiều hơn, họ cũng hiển thị

mydt <- function(x, m, s, df) dt((x-m)/s, df)/s
fitdistr(x2, mydt, list(m = 0, s = 1), df = 9, lower = c(-Inf, 0))

trong đó các tham số sẽ là m = mean, s = độ lệch chuẩn, df = độ tự do