Ước tính tham số logLikabilities cho bộ lọc Kalman Gaussian tuyến tính

Tôi đã viết một số mã có thể thực hiện lọc Kalman (sử dụng một số bộ lọc loại Kalman khác nhau [Bộ lọc thông tin và cộng sự]) cho Phân tích không gian trạng thái tuyến tính Gaussian cho vectơ trạng thái n chiều. Các bộ lọc hoạt động tuyệt vời và tôi đang nhận được một số đầu ra tốt đẹp. Tuy nhiên, ước tính tham số thông qua ước tính loglikabilities làm tôi bối rối. Tôi không phải là một nhà thống kê mà là một nhà vật lý, vì vậy hãy tử tế.

Chúng ta hãy xem xét mô hình không gian trạng thái Gaussian tuyến tính

trong đó là vectơ quan sát của chúng ta, vectơ trạng thái của chúng ta tại bước thời gian . Các đại lượng in đậm là các ma trận biến đổi của mô hình không gian trạng thái được đặt theo các đặc tính của hệ thống đang được xem xét. Chúng tôi cũng có$y_{t}$$\alpha_{t}$$t$

η t ∼ N I D ( 0 , Q t ) , α 1 ∼ N I D ( a 1 , P 1 )

trong đó . Bây giờ, tôi đã bắt nguồn và triển khai đệ quy cho Bộ lọc Kalman cho mô hình không gian trạng thái chung này bằng cách đoán các tham số ban đầu và ma trận phương sai và Tôi có thể tạo ra các ô giốngH 1 Q $t = 1,\ldots, n$$\mathbf{H}_{1}$$\mathbf{Q}_{1}$

trong đó các điểm là mực nước sông Nile trong hơn 100 năm qua, dòng là trạng thái Ước tính Kalamn và các đường đứt nét là mức tin cậy 90%.

Bây giờ, đối với dữ liệu 1D này, đặt các ma trận và chỉ là vô hướng và . Vì vậy, bây giờ tôi muốn lấy các tham số chính xác cho các vô hướng này bằng cách sử dụng đầu ra từ Bộ lọc Kalman và hàm loglikabilitiesQ t σ ε σ $\mathbf{H}_{t}$$\mathbf{Q}_{t}$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$

Trong đó là lỗi trạng thái và là phương sai lỗi trạng thái. Bây giờ, đây là nơi tôi đang bối rối. Từ bộ lọc Kalman, tôi có tất cả thông tin tôi cần để tìm ra , nhưng điều này dường như giúp tôi không thể tính được khả năng tối đa của và . Câu hỏi của tôi là làm thế nào tôi có thể tính toán khả năng tối đa của và bằng cách sử dụng phương pháp loglikabilities và phương trình trên? Một sự cố thuật toán sẽ giống như một cốc bia lạnh đối với tôi ngay bây giờ ...$v_{t}$$\mathbf{F}_{t}$$L$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$

Cảm ơn vì đã dành thời gian cho tôi.

Ghi chú. Đối với trường hợp 1D và . Đây là mô hình cấp địa phương đơn biến. H t = σ 2 $\mathbf{H}_{t} = \sigma^{2}_{\epsilon}$$\mathbf{H}_{t} = \sigma^{2}_{\eta}$

Khi bạn chạy các bộ lọc Kalman như bạn có, với các giá trị nhất định của và σ 2 η , bạn nhận được một chuỗi các sáng kiến ν t và hiệp phương sai của họ F t , do đó bạn có thể tính toán giá trị của log L ( Y n ) sử dụng công thức bạn đưa ra.$\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$$\nu_t$$\boldsymbol{F_t}$$\log L(Y_n)$

Nói cách khác, bạn có thể xem các bộ lọc Kalman như một cách để tính toán một chức năng tiềm ẩn của và σ 2 η . Điều duy nhất mà bạn cần phải làm sau đó là gói tính này thành một chức năng hoặc chương trình con và xử lý các chức năng để tối ưu hóa một thói quen --like trong R. Đó chức năng nên chấp nhận như đầu vào σ 2 ε và σ 2 η và trở lại log L ( Y n ) .$\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$optim$\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$$\log L(Y_n)$

Một số gói trong R (ví dụ dlm) làm điều này cho bạn (xem chức năng ví dụ dlmMLE).