Trình tự OEIS liên quan: A008867

Số tam giác cắt ngắn

Một tính chất chung của số tam giác là chúng có thể được sắp xếp theo hình tam giác. Chẳng hạn, lấy 21 và sắp xếp thành một tam giác os:

     o 
    oo
   ooo
  ồ
 ooooo
oooooo

Chúng ta hãy định nghĩa một "cắt ngắn:" cắt các hình tam giác có cùng kích thước từ mỗi góc. Một cách để cắt ngắn 21 như sau:

     . 
    . .
   ooo
  ồ
 . ooo.
. . oo. .

(Các hình tam giác .được cắt từ bản gốc).

Có 12 ogiây còn lại, vì vậy 12 là số tam giác cắt ngắn.

Bài tập

Công việc của bạn là viết một chương trình hoặc một hàm (hoặc tương đương) lấy một số nguyên và trả về (hoặc sử dụng bất kỳ phương thức đầu ra tiêu chuẩn nào) cho dù một số có phải là số tam giác cắt ngắn hay không.

Quy tắc

• Không có sơ hở tiêu chuẩn.
• Đầu vào là một số nguyên không âm.
• Một vết cắt không thể có chiều dài cạnh vượt quá một nửa so với tam giác ban đầu (nghĩa là vết cắt không thể trùng nhau)
• Một vết cắt có thể có chiều dài bên không.

Các trường hợp thử nghiệm

Sự thật:

0
1
3
6
7
10
12
15
18
19

Giả mạo:

2
4
5
8
9
11
13
14
16
17
20

Các trường hợp thử nghiệm cho tất cả các số nguyên lên tới 50: Liên kết TIO

Đây là môn đánh gôn , vì vậy những bài nộp có số byte ngắn nhất trong mỗi ngôn ngữ sẽ giành chiến thắng!

Haskell, 46 45 byte

f n|t<-scanl(+)0[1..n]=or[x-3*y==n|x<-t,y<-t]

Hãy thử trực tuyến!

Haskell , 46 byte

f n=or[mod(gcd(p^n)(4*n-1)-5)12<3|p<-[1..4*n]]

Hãy thử trực tuyến!

Sau khi ném một loạt lý thuyết số vào vấn đề (cảm ơn @flawr), tôi đã tìm thấy đặc điểm này:

n là một số tam giác cắt ngắn chính xác nếu trong hệ số nguyên tố của 4n-1 , bất kỳ số nguyên tố nào có dạng 5 mod 12 hoặc 7 mod 12 đều xuất hiện một số chẵn.

Ví dụ, điều này có nghĩa là 4n-1 có thể không chia hết cho 5 trừ khi nó chia hết cho 5 ² = 25 và tổng số 5 yếu tố là số chẵn.

Haskell không có tích hợp nhân tố, nhưng chúng ta có thể ứng biến. Nếu chúng ta làm việc với các yếu tố thành các số nguyên tố như 12 = 3 * 4 , chúng ta có thể sử dụng câu lệnh tương đương:

n là một số tam giác cắt ngắn chính xác nếu hệ số 4n-1 thành các số nguyên tố không có các điều khoản của mẫu 5 mod 12 hoặc 7 mod 12 .

Chúng ta có thể trích xuất sức mạnh của một nguyên tố p xuất hiện trong k là gcd(p^k)k. Sau đó chúng tôi kiểm tra xem kết quả r không phải là 5 hay 7 modulo 12 như mod(r-5)12>2. Lưu ý rằng r là số lẻ. Chúng tôi cũng kiểm tra vật liệu tổng hợp là p , thiếu một cách để nói với họ từ các số nguyên tố, nhưng kiểm tra sẽ vượt qua miễn là các yếu tố của nó làm.

Cuối cùng, phủ nhận >2đến <3và chuyển đổi True/ Falsesản lượng tiết kiệm một byte bằng cách cho phép chúng ta sử dụng orthay vì and.

Một đặc điểm có liên quan là các ước của 4n-1 lấy modulo 12 có tổng số 1 và 11 hơn 5 và 7.

53 byte

f n=sum[abs(mod k 12-6)-3|k<-[1..4*n],mod(4*n)k==1]<0

Hãy thử trực tuyến!

Python 2 , 52 byte

f=lambda n,b=1:b>n+1or(8*n-2+3*b*b)**.5%1>0<f(n,b+1)

Hãy thử trực tuyến!

Đầu ra True/ Falselật. Sử dụng đặc tính này:

n là một số tam giác cắt ngắn chính xác nếu 8N-2 có hình một ² -3b ² đối với một số nguyên a, b .

Chúng tôi kiểm tra xem bất kỳ 8*n-2+3*b*blà một hình vuông hoàn hảo cho bất kỳ btừ 1đến n+1. Chúng tôi tránh b=0vì nó gây ra lỗi cho căn bậc hai của âm khi n==0, nhưng điều này không thể làm tổn thương vì chỉ có lẻ mới bcó thể hoạt động.

Thực hiện không đệ quy:

Python 2 , 53 byte

lambda n:0in[(8*n-2+3*b*b)**.5%1for b in range(~n,0)]

Hãy thử trực tuyến!

R , 45 43 byte

-2 byte nhờ Vlo

(n=scan())%in%outer(T<-cumsum(0:n),3*T,"-")

Hãy thử trực tuyến!

Tôi khá chắc chắn rằng chúng ta chỉ cần kiểm tra các nsố tam giác đầu tiên cho việc này; kiểm tra lực lượng vũ phu nếu nlà trong sự khác biệt theo cặp của số tam giác và bộ ba của chúng.

Thạch , 10 byte

0r+\ð_÷3f⁸

Một liên kết đơn âm chấp nhận một số nguyên và trả về một giá trị trung thực (danh sách không trống) hoặc giá trị falsey (danh sách trống).

Hãy thử trực tuyến! (chân trang thực hiện biểu diễn Python để hiển thị[0]kết quả như hiện tại)
... hoặc xem bộ phần mềm thử nghiệm (chạy từ 0 đến 20)

Làm sao?

Cho N, tạo thành các số tam giác N đầu tiên, trừ N từ mỗi số, chia mỗi kết quả cho 3 và giữ bất kỳ kết quả nào là một trong các số tam giác N đầu tiên.

0r+\ð_÷3f⁸ - Link: integer, N             e.g. 7
0r         - zero inclusive range N            [    0, 1, 2,   3,    4, 5,   6,   7]
  +\       - cumulative reduce with addition   [    0, 1, 3,   6,   10,15,  21,  28]
    ð      - start a new dyadic link with that, t, on the left and N on the right
     _     - t subtract N (vectorises)         [   -7,-6,-3,  -1,    3, 8,  14,  21]
      ÷3   - divivde by three (vectorises)     [-2.33,-2,-1.33,-0.33,1,2.67,4.67, 7]
         ⁸ - chain's left argument, t          [    0, 1, 3,   6,   10,15,  21,  28]
        f  - filter keep                       [                     1             ]
                                               - a non-empty list, so truthy

Pyt , 10 byte

Đř△Đ3*ɐ-Ƒ∈

Hãy thử trực tuyến!

Giải trình:

        Implicit input
Đ       Duplicate input
ř       Push [1,2,...,input]
△       For each element k in the array, get the kth triangle number
Đ       Duplicate the top of the stack
3*      Multiply by 3
ɐ       ɐ - All possible:
 -                       subtractions between elements of the two arrays  
Ƒ       Flatten the nested array
∈       Is the input in the array

Haskell , 48 byte

f a|u<-[0..a]=or[x^2+x-3*(y^2+y)==2*a|x<-u,y<-u]

Hãy thử trực tuyến!

J , 22 byte

e.[:,@(-/3*])2![:i.2+]

Hãy thử trực tuyến!

Cách tiếp cận đơn giản và hơi kém.

Giải trình

e.[:,@(-/3*])2![:i.2+]
             2![:i.2+]  Range of triangular numbers up to N
      (-/3*])           All possible subtractions of 3T from T 
                        where T is triangular up to the Nth triangular number
    ,@                  Flattened into a single list
e.                      Is N in the list?

MATL , 12 byte

tQ:qYst!3*-m

Đầu ra 1cho sự thật, 0cho sự giả dối .

Hãy thử trực tuyến! Hoặc xác minh tất cả các trường hợp thử nghiệm .

Làm thế nào nó hoạt động, ví dụ

Xem xét đầu vào 6

t      % Implicit input. Duplicate
       % STACK: 6, 6
Q:q    % Increase, range, decrease element-wise. Gives [0 1 ... n]
       % STACK: 6, [0 1 ... 6]
Ys     % Cumulative sum
       % STACK: 6, [0 1 3 6 10 15]
t!     % Duplicate, transpose
       % STACK: 6, [0 1 3 6 10 15], [0;
                                     1;
                                     3;
                                     6;
                                     10;
                                     15]
3*     % Times 3, element-wise
       % STACK: 6, [0 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55], [0;
                                                    3;
                                                    9;
                                                    18;
                                                    30;
                                                    45]
-      % Subtract, element-wise with broadcast
       % STACK: 6, [  0   1   3   6  10  15  21;
                     -3  -2   0   3   7  12  18;
                     -9  -8  -6  -3   1   6  12;
                    -18 -17 -15 -12  -8  -3   3;
                    -30 -29 -27 -24 -20 -15  -9;
                    -45 -44 -42 -39 -35 -30 -24;
                     -63 -62 -60 -57 -53 -48 -42]
m      % Ismember. Implicit display
       % STACK: 1

Ruby , 65 57 52 48 byte

->n,b=0{b+=1;(8*n-2+3*b*b)**0.5%1==0||b<n&&redo}

Hãy thử trực tuyến!

Lấy cảm hứng từ câu trả lời python của xnor

Python 3 , 84 byte

lambda n:1in set([((8*(n+(i*(i+1)/2)*3)+1)**0.5)%4==1for i in range(n)])or n in[0,1]

Hãy thử trực tuyến!

05AB1E , 11 byte

ÅT3*+8*>ŲZ

Hãy thử trực tuyến!

Giải trình

ÅT            # get a list of triangle numbers upto input
  3*          # multiply each by 3
    +         # add input to each
     8*       # multiply each by 8
       >      # increment each
        Ų    # check each for squareness
          Z   # max

Điều này dựa trên thực tế là một số T là hình tam giác nếu 8T+1là một hình vuông hoàn hảo kỳ lạ.
Chúng tôi bắt đầu vào danh sách các hình tam giác mà chúng tôi có thể cắt bớt, tính toán các hình tam giác lớn hơn có thể dựa trên chúng và kiểm tra xem trên thực tế nó có phải là hình tam giác không.

Japt , 16 byte

ò å+ d@Zd_-3*X¶U

Hãy thử nó | Kiểm tra tất cả các trường hợp kiểm tra

Giải trình

                     :Implicit input of integer U
ò                    :Range [0,U]
  å+                 :Cumulative reduction by addition
     d@              :Does any X in array Z return true when passed through this function?
       Zd_           :  Does any element in Z return true when passe through this function?
          -3*X       :    Subtract 3*X
              ¶U     :    Check for equality with U

Thay thế

ò å+ £Zm-3*XÃdøU

Thử nó

Thêm ++ , 36 byte

D,g,@,.5^di=
L,ßR¬+A↑>3€*A€+8€*1€+ºg

Hãy thử trực tuyến!