Xu hướng ước tính thời điểm phân phối lognatural

Tôi đang làm một số thí nghiệm số mà bao gồm trong lấy mẫu một bản phân phối lognormal $X\sim\mathcal{LN}(\mu, \sigma)$ , và cố gắng để ước lượng những khoảnh khắc bằng hai phương pháp:$\mathbb{E}[X^n]$

1. Nhìn vào giá trị trung bình mẫu của$X^n$
2. Ước tính và bằng cách sử dụng mẫu có nghĩa là , và sau đó sử dụng thực tế là để phân phối lognatural, chúng ta có .$\mu$$\sigma^2$$\log(X), \log^2(X)$$\mathbb{E}[X^n]=\exp(n \mu + (n \sigma)^2/2)$

Câu hỏi là :

Tôi thấy bằng thực nghiệm rằng phương pháp thứ hai thực hiện tốt hơn nhiều so với phương pháp thứ nhất, khi tôi giữ số lượng mẫu cố định và tăng bởi một số yếu tố T. Có giải thích đơn giản nào cho thực tế này không?$\mu, \sigma^2$

Tôi đang đính kèm một hình trong đó trục x là T, trong khi trục y là các giá trị của so sánh các giá trị thực của (đường màu cam), theo các giá trị ước tính. phương pháp 1 - chấm xanh, phương pháp 2 - chấm xanh. trục y nằm trong thang đo log$\mathbb{E}[X^2]$$\mathbb{E}[X^2] = \exp(2 \mu + 2 \sigma^2)$

CHỈNH SỬA:

Dưới đây là mã Mathicala tối thiểu để tạo kết quả cho một T, với đầu ra:

   ClearAll[n,numIterations,sigma,mu,totalTime,data,rmomentFromMuSigma,rmomentSample,rmomentSample]
(* Define variables *)
n=2; numIterations = 10^4; sigma = 0.5; mu=0.1; totalTime = 200;
(* Create log normal data*)
data=RandomVariate[LogNormalDistribution[mu*totalTime,sigma*Sqrt[totalTime]],numIterations];

(* the moment by theory:*)
rmomentTheory = Exp[(n*mu+(n*sigma)^2/2)*totalTime];

(*Calculate directly: *)
rmomentSample = Mean[data^n];

(*Calculate through estimated mu and sigma *)
muNumerical = Mean[Log[data]]; (*numerical \[Mu] (gaussian mean) *)
sigmaSqrNumerical = Mean[Log[data]^2]-(muNumerical)^2; (* numerical gaussian variance *)
rmomentFromMuSigma = Exp[ muNumerical*n + (n ^2sigmaSqrNumerical)/2];

(*output*)
Log@{rmomentTheory, rmomentSample,rmomentFromMuSigma}

Đầu ra:

(*Log of {analytic, sample mean of r^2, using mu and sigma} *)
{140., 91.8953, 137.519}

ở trên, kết quả thứ hai là giá trị trung bình mẫu của , thấp hơn hai kết quả khác$r^2$

Có một cái gì đó khó hiểu trong những kết quả kể từ khi

1. phương pháp đầu tiên cung cấp một công cụ ước tính không thiên vị của , cụ thể là $\mathbb{E}[X^2]$ cóE[X2]là trung bình của nó. Do đó, các chấm màu xanh phải nằm xung quanh giá trị mong đợi (đường cong màu cam); $$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i^2$$ $\mathbb{E}[X^2]$
2. phương pháp thứ hai cung cấp một ước lượng chệch của , cụ thể là E [ exp ( n μ + n 2 σ 2 / 2 ) ] > exp ( n μ + ( n σ ) 2 / 2 ) khi μ và σ ² là ước lượng không thiên vị của μ và σ $\mathbb{E}[X^2]$ $$\mathbb{E}[\exp(n \hat\mu + n^2 \hat{\sigma}^2/2)]>\exp(n \mu + (n \sigma)^2/2)$$ $\hat\mu$$\hat\sigma²$$\mu$$\sigma²$ tương ứng, và thật kỳ lạ khi các chấm màu xanh lá cây được xếp thẳng hàng với đường cong màu cam.

nhưng họ là do vấn đề chứ không phải tính toán số học: Tôi lặp lại thí nghiệm trong R và có những hình ảnh sau đây với mã cùng màu và cùng một chuỗi của 's và σ T ' s, đại diện cho từng ước lượng chia bởi sự kỳ vọng thực sự:$\mu_T$$\sigma_T$

Đây là mã R tương ứng:

moy1=moy2=rep(0,200)
mus=0.14*(1:200)
sigs=sqrt(0.13*(1:200))
tru=exp(2*mus+2*sigs^2)
for (t in 1:200){
x=rnorm(1e5)
moy1[t]=mean(exp(2*sigs[t]*x+2*mus[t]))
moy2[t]=exp(2*mean(sigs[t]*x+mus[t])+2*var(sigs[t]*x+mus[t]))}

plot(moy1/tru,col="blue",ylab="relative mean",xlab="T",cex=.4,pch=19)
abline(h=1,col="orange")
lines((moy2/tru),col="green",cex=.4,pch=19)

Do đó thực sự là một sự sụp đổ của thời điểm thực nghiệm thứ hai là và σ tăng rằng tôi sẽ gán cho sự gia tăng rất lớn trong phương sai của nói thời điểm thực nghiệm thứ hai là μ và σ tăng.$\mu$$\sigma$$\mu$$\sigma$

$\mathbb{E}[X^2]$$X^2$$X^2$$e^{2\mu}$$X^2$$\exp\{2\mu+2\sigma\epsilon\}$$\epsilon\sim\mathcal{N}(0,1)$$\sigma$$\sigma\epsilon$$\sigma^2$$X$$\mathcal{LN}(\mu,\sigma)$

$$\begin{align*}\mathbb{P}(X^2>\mathbb{E}[X^2])&=\mathbb{P}(\log\{X^2\}>2\mu+2\sigma^2)\\&=\mathbb{P}(\mu+\sigma\epsilon>\mu+\sigma^2)\\&=\mathbb{P}(\epsilon>\sigma)\\ &=1-\Phi(\sigma)\end{align*}$$

Tôi nghĩ rằng tôi đã đưa ra một số hình ảnh cho thấy cả hai lô của người dùng29918 và Xi'an đều nhất quán. Hình 1 vẽ những gì người dùng29918 đã làm và Hình 2 (dựa trên cùng một dữ liệu), thực hiện những gì Xi'an đã làm cho âm mưu của mình. Kết quả giống nhau, trình bày khác nhau.

$\frac{1}{n} \sum_i x_i^2$

Nhận xét thêm:

1. Công cụ ước tính không thiên vị không có nghĩa là công cụ ước tính được dự kiến ​​sẽ đóng! Các chấm màu xanh không cần phải gần kỳ vọng. Ví dụ. một quan sát duy nhất được chọn ngẫu nhiên đưa ra ước tính không thiên vị về trung bình dân số, nhưng công cụ ước tính đó sẽ không được dự kiến ​​sẽ đóng.
2. Vấn đề đang được đưa ra khi phương sai đang trở nên hoàn toàn thiên văn. Khi phương sai trở nên khó khăn, ước tính cho phương pháp đầu tiên đang được điều khiển chỉ là một vài quan sát. Bạn cũng bắt đầu có một xác suất nhỏ xíu, nhỏ bé của một số lượng lớn, KHÔNG ĐỔI, KHÔNG ĐÚNG ...
3. $P(X^2 > E[X^2]) = 1 - \Phi(\sigma)$$\sigma$$X^2 > E[X^2]$