Có gì sai với bằng chứng của tôi về Luật phương sai tổng số?

9

Theo Luật phương sai tổng thể,

Var (X) = E (Var (X ∣ Y)) + Var (E (X ∣ Y))

$\operatorname{Var}(X)=\operatorname{E}(\operatorname{Var}(X\mid Y)) + \operatorname{Var}(\operatorname{E}(X\mid Y))$

Khi cố gắng chứng minh, tôi viết

\begin{aligned} Var (X) & = E (X - E X)^{2} \\ = E {E [(X - E X)^{2} ∣ Y]} \\ = E (Var (X ∣ Y)) \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &= \operatorname{E}(X - \operatorname{E}X)^2 \\ &= \operatorname{E}\left\{\operatorname{E}\left[(X - \operatorname{E}X)^2\mid Y\right]\right\} \\ &= \operatorname{E}(\operatorname{Var}(X\mid Y)) \end{aligned} \end{equation}$

Có gì sai với nó?

— nalzok
nguồn

6

Dòng thứ ba sai, vì bạn không có trong dòng thứ hai. Ví dụ: nếu là Bernoulli (1/2) và là 1 nếu là 1 và -1 nếu 0, thì (đây là những gì bạn muốn) vì hoàn toàn cung cấp thông tin cho , nhưng những gì bạn có sẽ cung cấp cho bạn . $\text{E}[X|Y]$ $Y$ $X$ $Y$ $Y$ $\text{E}[(X-\text{E}[X|Y])^2|Y] = 0$ $Y$ $X$ $\text{E}[(X-\text{E}[X])^2|Y] = \text{E}[(X-0)^2|Y] = \text{E}[X^2|Y] = 1 \ne 0$

Không nói dối, bạn đã tự đặt câu hỏi cho chính mình và tôi phải nhìn chằm chằm vào điều này một chút trước khi nó đánh tôi mặc dù tôi đã phải chứng minh LOTV cho chính mình một tỷ lần: P

— Sheridan Grant
nguồn

9

Việc chuyển đổi từ dòng thứ hai sang dòng thứ ba không tuân theo. Vì bạn có: $\mathbb{E}(X) \neq \mathbb{E}(X|Y)$

E [(X - E (X))^{2} | Y] \neq E [(X - E (X | Y))^{2} | Y] = E [V (X | Y)] .

$\mathbb{E}[ (X - \mathbb{E}(X))^2 | Y ] \neq \mathbb{E}[ (X - \mathbb{E}(X|Y))^2 | Y ] = \mathbb{E}[ \mathbb{V}(X|Y) ].$

Trong trường hợp đặc biệt trong đó cho tất cả kết quả làm việc và kết quả của bạn sẽ là một trường hợp đặc biệt kết quả chung hơn. $\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(X|Y=y)$ $y \in \mathbb{R}$

— Ben - Phục hồi Monica
nguồn

4

\begin{aligned} Var (X) & = E (X - E X)^{2} \\ = E (E [(X - E X)^{2} ∣ Y]) \\ \neq E (E [(X - E (X ∣ Y))^{2}] ∣ Y) \\ = E (Var (X ∣ Y)) \end{aligned}

$\require{cancel} \begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &= \operatorname{E}(X - \operatorname{E}X)^2 \\ &= \operatorname{E}\left(\operatorname{E}\left[(X - \operatorname{E}X)^2\mid Y\right]\right) \\ &\ne \operatorname E\left( \operatorname E\left[ (X-\operatorname E(X\mid Y))^2 \right] \mid Y \right) \\ &= \operatorname{E}(\operatorname{Var}(X\mid Y)) \end{aligned}$

— Michael Hardy
nguồn