Liệu các bản phân phối có cùng thời điểm có giống nhau không

Sau đây tương tự nhưng khác với các bài viết trước đây và đây

1. Cho hai phân phối thừa nhận các khoảnh khắc của tất cả các đơn đặt hàng, nếu tất cả các khoảnh khắc của hai phân phối là như nhau, thì chúng có phải là phân phối giống hệt nhau không?
2. Cho hai phân phối thừa nhận các hàm tạo khoảnh khắc, nếu chúng có cùng một khoảnh khắc, thì các hàm tạo khoảnh khắc của chúng có giống nhau không?

Hãy để tôi trả lời theo thứ tự ngược lại:

2. Có. Nếu MGF của họ tồn tại, chúng sẽ giống nhau *.

xem ở đây và ở đây chẳng hạn

Thật vậy, nó xuất phát từ kết quả mà bạn đưa ra trong bài đăng này đến từ; nếu MGF duy nhất ** xác định phân phối và hai phân phối có MGF và chúng có cùng phân phối, chúng phải có cùng MGF (nếu không, bạn sẽ có một ví dụ để 'MGF xác định duy nhất các phân phối').

* đối với các giá trị nhất định của 'giống nhau', do cụm từ đó 'gần như ở mọi nơi'

** ' hầu hết mọi nơi '

1. Không - kể từ khi tồn tại phản vật chất.

Kendall và Stuart liệt kê một gia đình phân phối liên tục (có thể ban đầu là do Stieltjes hoặc một người nào đó cổ điển đó, nhưng hồi ức của tôi không rõ ràng, đã vài thập kỷ) có các chuỗi khoảnh khắc giống hệt nhau và vẫn khác nhau.

Cuốn sách của Romano và Siegel (Counterexamples in Xác suất và Thống kê) liệt kê các mẫu phản diện trong phần 3.14 và 3.15 (trang 48-49). (Trên thực tế, nhìn vào họ, tôi nghĩ cả hai người đều ở Kendall và Stuart.)

Romano, JP và Siegel, AF (1986),
Counterexamples trong Xác suất và Thống kê.
Boca Raton: Chapman và Hội trường / CRC.

Đối với 3,15 họ ghi có Feller, 1971, p227

Đó là ví dụ thứ hai liên quan đến gia đình mật độ

The densities differ as $\alpha$ changes, but the moment sequences are the same.

That the moment sequences are the same involves splitting $f$ into the parts

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) -\alpha \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})\sin(x^{1/4})$

và sau đó cho thấy phần thứ hai đóng góp 0 cho mỗi khoảnh khắc, vì vậy tất cả chúng đều giống như những khoảnh khắc của phần đầu tiên.

Đây là hai mật độ trông như thế nào. Màu xanh là trường hợp ở giới hạn bên trái ($\alpha=0$), màu xanh là trường hợp với $\alpha=0.5$. Biểu đồ bên phải là như nhau nhưng với tỷ lệ log-log trên các trục.

Vẫn tốt hơn, có lẽ, đã lấy một phạm vi lớn hơn nhiều và sử dụng thang đo gốc thứ tư trên trục x, làm cho đường cong màu xanh thẳng và đường màu xanh lá cây di chuyển như một đường cong tội lỗi ở trên và bên dưới nó, đại loại như vậy:

Các wiggles trên và dưới đường cong màu xanh - cho dù cường độ lớn hơn hay nhỏ hơn - hóa ra để lại tất cả các khoảnh khắc số nguyên dương không bị thay đổi.

Lưu ý rằng điều này cũng có nghĩa là chúng ta có thể có được một phân phối tất cả các khoảnh khắc kỳ lạ của chúng bằng 0, nhưng không đối xứng, bằng cách chọn$X_1,X_2$ với nhau $\alpha$ và lấy hỗn hợp 50-50 $X_1$và $-X_2$. Kết quả phải hủy tất cả các khoảnh khắc kỳ lạ, nhưng hai nửa không giống nhau.