Hiển thị là độc lập nếu và khi
Đặt là các biến ngẫu nhiên độc lập.Xi∼Gamma(α,pi),i=1,2,...,n+1Xi∼Gamma(α,pi),i=1,2,...,n+1X_i\sim\text{Gamma}(\alpha,p_i),i=1,2,...,n+1 Xác định và . Sau đó cho thấy được phân phối độc lập.Z1=∑n+1i=1XiZ1=∑i=1n+1XiZ_1=\sum_{i=1}^{n+1}X_iZi=Xi∑ij=1Xj,i=2,3,...,n+1Zi=Xi∑j=1iXj,i=2,3,...,n+1Z_i=\frac{X_i}{\sum_{j=1}^iX_j},\quad i=2,3,...,n+1Z1,Z2,...,Zn+1Z1,Z2,...,Zn+1Z_1,Z_2,...,Z_{n+1} Mật độ chung của được cho bởi(X1,...,Xn+1)(X1,...,Xn+1)(X_1,...,X_{n+1}) fX(x1,...,xn+1)=[α∑n+1i=1pi∏n+1i=1Γ(pi)exp(−α∑i=1n+1xi)∏i=1n+1xpi−1i]Ixi>0,α>0,pi>0fX(x1,...,xn+1)=[α∑i=1n+1pi∏i=1n+1Γ(pi)exp(−α∑i=1n+1xi)∏i=1n+1xipi−1]Ixi>0,α>0,pi>0f_{\bf X}(x_1,...,x_{n+1})=\left[\frac{\alpha^{\sum_{i=1}^{n+1}p_i}}{\prod_{i=1}^{n+1}\Gamma(p_i)}\exp\left(-\alpha\sum_{i=1}^{n+1}x_i\right)\prod_{i=1}^{n+1}x_i^{p_i-1}\right]\mathbf I_{x_i>0}\quad,\alpha>0,p_i>0 Chúng tôi biến đổi sao choX=(X1,⋯,Xn+1)↦Z=(Z1,⋯,Zn+1)X=(X1,⋯,Xn+1)↦Z=(Z1,⋯,Zn+1)\mathbf X=(X_1,\cdots,X_{n+1})\mapsto\mathbf Z=(Z_1,\cdots,Z_{n+1}) Z1=∑n+1i=1XiZ1=∑i=1n+1XiZ_1=\sum_{i=1}^{n+1}X_i vàZi=Xi∑ij=1Xj,i=2,3,...,n+1Zi=Xi∑j=1iXj,i=2,3,...,n+1Z_i=\frac{X_i}{\sum_{j=1}^iX_j},\quad i=2,3,...,n+1 ⟹xn+1=z1zn+1,⟹xn+1=z1zn+1,\implies x_{n+1}=z_1z_{n+1}, xn=z1zn(1−zn+1),xn=z1zn(1−zn+1),\qquad x_n=z_1z_n(1-z_{n+1}), xn−1=z1zn−1(1−zn)(1−xn+1),xn−1=z1zn−1(1−zn)(1−xn+1),\qquad x_{n-1}=z_1z_{n-1}(1-z_n)(1-x_{n+1}), ⋮⋮\qquad\vdots …